سوال ۸۸ کنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۴

اهمیت

۰/۵

در شکل زیر، دیسکی صلب به شعاع r با فرض غلتش خالص درحالِ حرکت است. اندازه شتاب نقطه A از دیسک، کدام است؟

(در شکل: دایره‌ای به شعاع r با مرکز C؛ سرعت زاویه‌ای ω و شتاب زاویه‌ای α با فلش در بالای دیسک (در جهت حرکت) نشان داده شده‌اند؛ نقطه A نقطه تماس دیسک با سطح افقی ثابت (هاشورخورده) در پایین دیسک و به فاصله r از C است.)

پاسخ صحیح: گزینهٔ B — rω۲

پاسخ تشریحی

برپاسازی مسئله

محور $x$ را به سمت راست، $y$ را به سمت بالا و $z$ را به بیرون از صفحه در نظر بگیرید. پیکان‌ها نشان می‌دهند که $\omega$ و $\alpha$ دیسک را به سمت راست می‌رانند، پس دوران ساعتگرد است:

\boldsymbol{\omega} = -\omega\,\hat{k}, \qquad \boldsymbol{\alpha} = -\alpha\,\hat{k}

حرکت مرکز از قید غلتش خالص

غلتش خالص روی یک سطح مستقیم ثابت، حرکت مرکز را به دوران گره می‌زند:

v_C = \omega r, \qquad a_C = \alpha r \quad (\text{both along } +x)

مرکز روی یک خط افقی مستقیم حرکت می‌کند، بنابراین هیچ مؤلفهٔ شتاب نرمال (قائم) ندارد:

\vec{a}_C = \alpha r\,\hat{i}

معادلهٔ شتاب نسبی برای نقطهٔ تماس

برای دو نقطه از یک جسم صُلب واحد داریم:

\vec{a}_A = \vec{a}_C + \boldsymbol{\alpha}\times\vec{r}_{A/C} + \boldsymbol{\omega}\times\left(\boldsymbol{\omega}\times\vec{r}_{A/C}\right) = \vec{a}_C + \boldsymbol{\alpha}\times\vec{r}_{A/C} - \omega^{2}\,\vec{r}_{A/C}

که در آن $\vec{r}_{A/C} = -r\,\hat{j}$ است (نقطهٔ $A$ دقیقاً زیر مرکز قرار دارد). جمله به جمله:

\boldsymbol{\alpha}\times\vec{r}_{A/C} = (-\alpha\hat{k})\times(-r\hat{j}) = \alpha r\,(\hat{k}\times\hat{j}) = -\alpha r\,\hat{i}

-\omega^{2}\vec{r}_{A/C} = -\omega^{2}(-r\hat{j}) = \omega^{2} r\,\hat{j}

با جمع کردن:

\vec{a}_A = \underbrace{\alpha r\,\hat{i}}_{\vec{a}_C} \;-\; \alpha r\,\hat{i} \;+\; \omega^{2} r\,\hat{j} = \omega^{2} r\,\hat{j}

نتیجه

مؤلفه‌های مماسی دقیقاً یکدیگر را حذف می‌کنند — همین حذف شدن همان قید غلتش است — و تنها بخش مرکزگرا باقی می‌ماند:

\boxed{\;\left|\vec{a}_A\right| = r\omega^{2}\;}

که راستای آن از $A$ به سمت مرکز $C$ (قائم و رو به بالا) است. این با گزینهٔ ۲ تطابق دارد.

بررسی صحت با مسیر حرکت نقطهٔ $A$

نقطهٔ مادی $A$ یک سیکلوئید را می‌پیماید. روی زمین در یک نقطهٔ بازگشتی (cusp) قرار دارد: سرعتش لحظه‌ای صفر است ( $v_A = 0$ ، همان مرکز آنی دوران با سرعت صفر)، اما جهت سرعت در آنجا معکوس می‌شود و این مستلزم وجود شتابی متناهی است — رو به بالا و به داخل دیسک، با اندازهٔ $r\omega^{2}$ . توجه کنید که $a_A$ کاملاً مستقل از $\alpha$ است.

تلهٔ رایج: «مرکز آنی دوران با سرعت صفر» تنها به معنای صفر بودن سرعت است، هرگز به معنای صفر بودن شتاب نیست. گزینهٔ ۴ (صفر) تلهٔ کلاسیک است، و گزینهٔ ۳، یعنی $r\sqrt{\alpha^{2}+\omega^{4}}$ ، اندازهٔ درست برای یک نقطهٔ دلخواه روی محیط نسبت به مرکز است ( $\sqrt{(\alpha r)^2 + (\omega^2 r)^2}$ ) — اما در نقطهٔ تماس، جملهٔ مماسی توسط $\vec{a}_C$ حذف می‌شود.

#rolling-without-slipping#rigid-body-kinematics#relative-acceleration#contact-point#instantaneous-center

کارت‌های مرتبط

مفهومدینامیک

سینماتیک جسم صلب: حرکت نسبی و قطب‌های آنی

از سرعت و شتاب نسبی، غلتش و دستگاه‌های دوّار استفاده کنید و مرکز سرعت صفر را از ساخت علامت‌دار قطب شتاب صفر متمایز سازید.

acceleration-poleinstantaneous-centerrelative-velocityrelative-acceleration