سینماتیک ذره: حرکت مستقیم‌الخط، منحنی‌الخط، وابسته و نسبی

۱. ایدهٔ اصلی — توصیف حرکت پیش از پرسیدن «چرا»

سینماتیک هندسهٔ حرکت است: مکان، سرعت و شتاب را به هم مرتبط می‌کند بدون آنکه هرگز از نیرو یا جرم سخنی به میان آید. ذره جسمی است که دوران آن برای پرسش مطرح‌شده بی‌اهمیت است، بنابراین وضعیت آن به‌طور کامل با یک بردار مکان $\mathbf{r}(t)$ نسبت به مبدأ ثابت توصیف می‌شود.

همه چیز از دو تعریف زیر نتیجه می‌شود،

و یک تصمیم مدل‌سازی: کدام دستگاه مختصات قیدها را بدیهی می‌کند. تمام این مبحث پاسخی نظام‌مند به همین تصمیم است — مختصات دکارتی، قائم–مماسی، قطبی، وابسته (قیدی) و نسبی (دستگاه انتقالی). سینماتیک همچنین ورودی سینتیک است: تا زمانی که $\mathbf{a}$ را در مختصاتی که هندسه دیکته می‌کند بیان نکرده‌اید، نمی‌توانید $\sum\mathbf{F}=m\mathbf{a}$ را بنویسید.

دو نکته که باید بی‌درنگ درونی شوند:

• سرعت همواره مماس بر مسیر است؛ اما شتاب چنین نیست — عموماً به سمت طرف مقعر مسیر متمایل می‌شود.
• تندی و سرعت دو کمیت متفاوت‌اند: $\lvert\mathbf{v}\rvert = \dot{s}$ (آهنگ تغییر طول مسیر)، در حالی که $\dfrac{d}{dt}\lvert\mathbf{r}\rvert=\dot{r}$ تنها آهنگ شعاعی است. این دو تنها در حرکت مستقیم‌الخطِ گذرنده از مبدأ بر هم منطبق می‌شوند.

۲. روابط کلیدی

۲.۱ حرکت مستقیم‌الخط (یک محور)

با مکان $s(t)$ روی یک خط ثابت،

رابطهٔ سوم — که از حذف $dt$ به دست می‌آید — هرگاه شتاب تابعی از مکان داده شود و زمان خواسته نشده باشد، ابزار اصلی کار است. چهار انتگرال‌گیری متعارف عبارت‌اند از:

سه‌گانهٔ شتاب ثابت تنها یک حالت خاص است — استفاده از آن وقتی $a$ متغیر است، رایج‌ترین خطای این مبحث است.

روابط نموداری. مساحت زیر منحنی $a$–$t$ برابر $\Delta v$ است؛ مساحت زیر منحنی $v$–$t$ برابر $\Delta s$؛ و شیب نمودار $s$–$t$ برابر $v$. برای نمودار $a$–$s$، مساحت برابر $\tfrac12\Delta\left(v^{2}\right)$ است.

۲.۲ حرکت منحنی‌الخط — مختصات دکارتی

چون $\hat{\imath},\hat{\jmath},\hat{k}$ ثابت‌اند، مؤلفه‌ها از هم جدا (دیکوپل) می‌شوند — هر محور یک مسئلهٔ مستقیم‌الخط مستقل است. به همین دلیل حرکت پرتابه به دو حرکت $a_x=0$ و $a_y=-g$ تفکیک می‌شود:

۲.۳ مختصات قائم–مماسی ($n$–$t$)

دستگاه را به خود ذره بچسبانید: $\hat{u}_t$ در راستای مسیر و $\hat{u}_n$ به سمت مرکز انحنا. آنگاه

• $a_t=\dot v=v\,\dfrac{dv}{ds}$ تندی را تغییر می‌دهد؛ $a_n=\dfrac{v^{2}}{\rho}$ جهت را تغییر می‌دهد و همواره به سمت داخل است (هرگز به بیرون نیست — «گریز از مرکز» اصطلاحی سینماتیکی نیست).
• شعاع انحنای یک منحنی مسطح $y=f(x)$:

• تندی ثابت روی یک منحنی $\Rightarrow a_t=0$ اما $a\ne 0$. خط مستقیم $\Rightarrow \rho\to\infty$، $a_n=0$. نقطهٔ عطف $\Rightarrow \rho\to\infty$ به‌صورت موضعی.

۲.۴ مختصات قطبی / استوانه‌ای

با $\mathbf{r}=r\,\hat{u}_r$ و $\dot{\hat{u}}_r=\dot\theta\,\hat{u}_\theta$، $\dot{\hat{u}}_\theta=-\dot\theta\,\hat{u}_r$:

دو جملهٔ «اضافی» همان‌هایی هستند که کنکور به دنبالشان است: $-r\dot\theta^{2}$ جملهٔ مرکزگرا و $2\dot r\dot\theta$ جملهٔ کوریولیس است، که هرگاه ذره هم‌زمان بلغزد ($\dot r\ne0$) و بچرخد ($\dot\theta\ne0$) ناصفر است — نشانهٔ مشخصهٔ پینی که در شیار دوّار می‌لغزد. برای مختصات استوانه‌ای، $\ddot z\,\hat{k}$ را اضافه کنید.

۲.۵ حرکت وابسته (مقیّد)

وقتی اجسام با طناب‌های کشش‌ناپذیر روی قرقره‌ها به هم متصل‌اند، مختصات آن‌ها مستقل نیست. هر مکان را از یک مبدأ ثابت و در راستای افزایش طول طناب اندازه بگیرید و طول کل را ثابت بنویسید:

که در آن $n_i$ تعداد قطعات طناب متصل به جسم $i$ است. یک قرقرهٔ متحرک که با $n$ قطعه نگه داشته می‌شود، $n$ برابر کندتر از سر آزاد حرکت می‌کند (و $n$ برابر نیروی کشش را تحمل می‌کند) — همان نسبت قرقرهٔ مرکب.

اگر سر طناب نسبت به راستای حرکت جسم مایل باشد، آهنگ تغییر طول طناب تنها برابر تصویر سرعت روی امتداد طناب است:

هم‌ارز آن، مستقیماً از هندسه مشتق بگیرید: اگر $s=\sqrt{x^{2}+h^{2}}$ با $h$ ثابت باشد، آنگاه $\dot s = \dfrac{x\,\dot x}{\sqrt{x^{2}+h^{2}}}$.

۲.۶ حرکت نسبی — دستگاه‌های انتقالی

برای دو ذرهٔ $A$ و $B$ که از دستگاهی مشاهده می‌شوند که همراه $A$ انتقال می‌یابد (بدون دوران):

این‌ها معادلات برداری هستند — به مؤلفه‌ها تجزیه کنید، هرگز اندازه‌ها را از هم کم نکنید. اگر دستگاه ناظر با $\boldsymbol{\Omega}$ بچرخد، جملات انتقالی و کوریولیس اضافی ظاهر می‌شوند (به بخش ۵ نگاه کنید).

۳. روش — چگونه هر مسئلهٔ سینماتیک ذره را حل کنیم

۱. نوع حرکت را تشخیص دهید. خط مستقیم؟ پس بخش ۲.۱. منحنی معلوم؟ پس $n$–$t$ (اگر داده‌های تندی/انحنا غالب باشند) یا دکارتی (اگر مسیر به‌صورت $y(x)$ یا $x(t),y(t)$ داده شده باشد). داده‌های شعاعی به‌همراه زاویه‌ای، یا شیار/بازو؟ پس قطبی. طناب و قرقره؟ پس حرکت وابسته. دو ناظر متحرک؟ پس حرکت نسبی. ۲. مبدأ/محورها را انتخاب و رسم کنید. مبدأ را روی زمین (نقطه‌ای لخت) ثابت کنید، جهت‌های مثبت را علامت بزنید و تا پایان مسئله همان‌ها را نگه دارید. بیشتر خطاهای علامت همین‌جا زاده می‌شوند. ۳. قید هندسی را پیش از مشتق‌گیری بنویسید: طول طناب، معادلهٔ مسیر $y=f(x)$، یا مثلث مکان نسبی. آنگاه روابط سینماتیکی با مشتق‌گیری رایگان به دست می‌آیند. ۴. نسبت به زمان مشتق بگیرید، با اعمال قاعدهٔ زنجیره‌ای و با یادآوری اینکه بردارهای یکهٔ $\hat{u}_r,\hat{u}_\theta,\hat{u}_t,\hat{u}_n$ ثابت نیستند. مقادیر ثابت (فاصلهٔ ثابت $h$، شعاع ثابت قرقره) مشتقشان صفر می‌شود — بقیه نه. ۵. مجهول‌ها را با معادله‌ها بشمارید. هر معادلهٔ برداری در صفحه دو معادلهٔ اسکالر می‌دهد. قیدها بقیه را تأمین می‌کنند. ۶. با جفت‌سازی درست انتگرال بگیرید اگر از $a$ به $v$ و سپس $s$ می‌روید: بسته به اینکه $a$ برحسب $t$، $v$ یا $s$ داده شده، $a\,dt=dv$ یا $a\,ds=v\,dv$ را انتخاب کنید و شرایط اولیه را به‌عنوان حدود انتگرال حمل کنید (انتگرال معیّن بهتر از جست‌وجوی ثابت‌هاست). ۷. علامت‌ها را تفسیر کنید. $\dot s$ منفی یعنی مختصه کوچک می‌شود، یعنی جسم به سمت مبدأ حرکت می‌کند؛ $a_t$ منفی تنها در صورتی به معنای کندشوندگی است که $v>0$ باشد. ۸. بازبینی منطقی کنید. حالات حدی ($\theta\to 0$ یا $90^\circ$، $h\to 0$)، یکاها و نسبت اندازه‌ها. اگر نسبت قرقره می‌گوید گاری دست‌کم باید دو برابر سریع‌تر از بلوک باشد، پاسخی کوچک‌تر از $2$ صرف‌نظر از جبر، غلط است.

۴. مثال کوتاه حل‌شده

ذره‌ای روی مسیر سهمی $y=\dfrac{x^{2}}{20}$ (بر حسب متر) حرکت می‌کند. در لحظه‌ای که $x=10\ \text{m}$ است، تندی آن $v=8\ \text{m/s}$ بوده و با $\dot v=3\ \text{m/s}^{2}$ تندشونده است. اندازهٔ شتاب و مؤلفه‌های $\mathbf{v}$ در راستای $x$ و $y$ را بیابید.

گام ۱ — هندسه. $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{x}{10}=1$ در $x=10$، پس مسیر با محور $x$ زاویهٔ $\theta=45^\circ$ می‌سازد؛ و $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=\dfrac{1}{10}$.

گام ۲ — انحنا.

گام ۳ — مؤلفه‌های $n$–$t$.

گام ۴ — سرعت در مختصات دکارتی. سرعت مماس بر مسیر است، یعنی در راستای $45^\circ$:

بازبینی. $\sqrt{v_x^{2}+v_y^{2}}=8\ \text{m/s}$ و $v_y/v_x=1=dy/dx$، همان‌گونه که شرط مماس‌بودن ایجاب می‌کند. توجه کنید که شتاب در راستای مسیر نیست: به اندازهٔ $\arctan\left(a_n/a_t\right)=37^\circ$ نسبت به مماس، به سمت طرف مقعر (بالا) متمایل است.

۵. حالت‌های خاص و گونه‌های دیگر

• سقوط آزاد / پرتابه. $a=-g$ ثابت است؛ حرکت افقی و قائم مستقل‌اند و تنها $t$ را مشترک دارند. برد و زمان پرواز از همان دو مسئلهٔ مستقیم‌الخط جداشده به دست می‌آیند. در نقطهٔ اوج $v_y=0$ است اما همچنان $a=g$.
• حرکت نامنظم داده‌شده با نمودار. به‌جای برازش فرمول، مساحت‌ها و شیب‌ها را بخوانید؛ نمودار $v$–$t$ تکه‌ای‌خطی یعنی $a$ تکه‌ای‌ثابت.
• حرکت دایره‌ای ($\rho=R$ ثابت): $v=R\dot\theta$، $a_t=R\ddot\theta$، $a_n=R\dot\theta^{2}=\dfrac{v^{2}}{R}$ — همان روابط قطبی با $\dot r=\ddot r=0$، و دقیقاً به همین دلیل توصیف قطبی و $n$–$t$ با هم سازگارند.
• حرکت مارپیچی/شیاری (تغییر هم‌زمان $r$ و $\theta$): جملهٔ کوریولیس $2\dot r\dot\theta$ ظاهر می‌شود؛ بازوی شیاردار که پینی را می‌راند نمونهٔ کلاسیک آن است. اگر بازو با $\dot\theta=\omega$ ثابت بچرخد و پین با $\dot r=u$ ثابت به بیرون بلغزد، آنگاه $a_r=-r\omega^{2}$ و $a_\theta=2u\omega\ne 0$ است، هرچند هر دو آهنگ ثابت‌اند.
• حرکت وابسته با چند طناب. به ازای هر طناب یک معادلهٔ طول بنویسید، سپس مختصه‌های واسط را حذف کنید. قطعاتی که دور قرقره‌ای با شعاع ثابت پیچیده‌اند، طول کمانی ثابتی می‌افزایند که با مشتق‌گیری حذف می‌شود.
• قیدهای طناب مایل. هر بار که طناب نوسان می‌کند از $\dot s=v\cos\theta$ استفاده کنید؛ این قید غیرخطی است، پس نسبت سرعت‌ها به پیکربندی لحظه‌ای وابسته است و رابطهٔ شتاب‌ها نیازمند مشتق‌گیری دوم شامل $\dot\theta$ است.
• حرکت نسبی در دستگاه دوّار (مسائل رودخانه/باد انتقالی‌اند؛ صفحه‌های گردان نه). برای دستگاهی که با $\boldsymbol{\Omega}$ می‌چرخد:

• ظرافت تندی مطلق در برابر نسبی. مسافری که در اتوبوس راه می‌رود $\mathbf{v}_{\text{abs}}=\mathbf{v}_{\text{bus}}+\mathbf{v}_{\text{rel}}$ دارد؛ اگر اتوبوس بپیچد، دوران ناظر باید لحاظ شود وگرنه جملات اضافی بالا از دست می‌روند.
• مسائل نزدیک‌ترین فاصله / کمینهٔ فاصله. کاملاً در دستگاه نسبی کار کنید: کمینهٔ فاصله همان فاصلهٔ عمودی از یک ذره تا خط راستی است که $\mathbf{r}_{B/A}$ با $\mathbf{v}_{B/A}$ ثابت می‌پیماید.

نکتهٔ کنکوری: معمولاً دو قید در یک مسئلهٔ قرقره پنهان‌اند و نادیده‌گرفتن هر کدام دقیقاً همان گزینه‌های انحرافی را می‌سازد. نخست، تعداد قطعات طناب نگه‌دارندهٔ بار را بشمارید — بلوکی روی قرقرهٔ متحرک که با $n$ قطعه نگه داشته شده، $n$ برابر کندتر از سر آزاد طناب حرکت می‌کند. دوم، اگر طنابِ متصل به جسم متحرک مایل باشد، تنها مؤلفهٔ سرعت در امتداد طناب آن را بلند می‌کند، یعنی $\dot{s}=v\cos\theta$؛ تصویر کردن روی ضلع نادرست مثلث (استفاده از فاصلهٔ ثابت $h$ در جای مسافت طولی $x$ یا برعکس) نسبت را وارونه می‌کند. این دو را به‌صورت $v\cos\theta=n\,v_{\text{load}}$ ترکیب کنید و همیشه حالت حدی $\theta\to 90^\circ$ را بررسی کنید، جایی که جسم می‌تواند سریع حرکت کند در حالی که طول طناب تقریباً تغییری نمی‌کند.