سوال ۸۶ کنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۴ — یک میله صلب مطابق شکل زیر، در سطح افق قرار گرفته است. اگر سرعت انتهای…

Question

یک میله صلب مطابق شکل زیر، در سطح افق قرار گرفته است. اگر سرعت انتهای A، ۲ متر بر ثانیه باشد، سرعت زاویه‌ای میله چقدر است؟ (غلتک B از سطح جدا نمی‌شود.)

[شرح شکل: میلهٔ افقی AB به طول ۰٫۶ متر و جرم ۸ کیلوگرم؛ غلتک A در سمت چپ روی سطح افقی است و سرعت آن $v_A = 2\ \mathrm{m/s}$ رو به چپ است؛ غلتک B در سمت راست روی سطح شیب‌داری با شیب ۳ به ۴ (ارتفاع ۳، قاعده ۴) قرار دارد که به سمت راست بالا می‌رود.]

پاسخ صحیح: گزینهٔ A — ۲/۵ Rad/s ساعتگرد (cw)

پاسخ تشریحی

صورت‌بندی مسئله

این مسئله صرفاً سینماتیک جسم صلب است — جرم $m = 8\ \mathrm{kg}$ داده‌ای گمراه‌کننده است (هیچ نیرو یا شتابی خواسته نشده است).

محور $x$ را به سمت راست و محور $y$ را رو به بالا می‌گیریم و مبدأ را در $A$ قرار می‌دهیم. میله افقی است، بنابراین

\mathbf{r}_{B/A} = 0.6\,\mathbf{i}\ \ (\mathrm{m})

قیدها.

$A$ یک غلتک روی کف افقی است، پس $\mathbf{v}_A$ افقی است. جهت آن به چپ داده شده است:

\mathbf{v}_A = -2\,\mathbf{i}\ \ (\mathrm{m/s})

$B$ غلتکی است که روی سطح شیب‌دار باقی می‌ماند، بنابراین $\mathbf{v}_B$ باید موازی سطح شیب‌دار باشد. با ارتفاع ۳ در برابر قاعدهٔ ۴، بردار یکهٔ در امتداد سطح شیب‌دار برابر است با

\hat{\mathbf{e}} = \frac{4}{5}\,\mathbf{i} + \frac{3}{5}\,\mathbf{j} \quad\Rightarrow\quad \mathbf{v}_B = v_B\left(\tfrac{4}{5}\,\mathbf{i} + \tfrac{3}{5}\,\mathbf{j}\right)

معادلهٔ سرعت نسبی

برای دو نقطه از یک جسم صلب، با $\boldsymbol{\omega} = \omega\,\mathbf{k}$ :

\mathbf{v}_B = \mathbf{v}_A + \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}_{B/A}

\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}_{B/A} = \omega\,\mathbf{k} \times 0.6\,\mathbf{i} = 0.6\,\omega\,\mathbf{j}

بنابراین

v_B\left(\tfrac{4}{5}\,\mathbf{i} + \tfrac{3}{5}\,\mathbf{j}\right) = -2\,\mathbf{i} + 0.6\,\omega\,\mathbf{j}

مؤلفهٔ $x$ :

\tfrac{4}{5}\,v_B = -2 \quad\Rightarrow\quad v_B = -2.5\ \mathrm{m/s}

(علامت منفی صرفاً یعنی $B$ در جهت پایین سطح شیب‌دار می‌لغزد، یعنی خلاف جهت $\hat{\mathbf{e}}$ — که با حرکت کلی میله به سمت چپ سازگار است.)

مؤلفهٔ $y$ :

\tfrac{3}{5}\,v_B = 0.6\,\omega \quad\Rightarrow\quad 0.6\,\omega = \tfrac{3}{5}(-2.5) = -1.5 \quad\Rightarrow\quad \omega = -2.5\ \mathrm{rad/s}

منفی‌بودن $\omega\,\mathbf{k}$ یعنی دوران در جهت $-\mathbf{k}$ ، یعنی ساعتگرد.

\boxed{\;\omega = 2.5\ \mathrm{rad/s}\ \text{(cw)}\;}

بررسی با مرکز آنی دوران (سرعت صفر)

مرکز آنی در محل تقاطع خطوطی قرار دارد که عمود بر دو راستای سرعت معلوم رسم می‌شوند:

$\mathbf{v}_A$ افقی است $\Rightarrow$ مرکز آنی روی خط قائم گذرنده از $A$ ، یعنی $x = 0$ ، قرار دارد.
$\mathbf{v}_B$ در امتداد $(4,3)/5$ است $\Rightarrow$ مرکز آنی روی خط گذرنده از $B(0.6,\,0)$ با راستای $(-3,\,4)$ قرار دارد.

(0.6,\,0) + t(-3,\,4) \Rightarrow 0.6 - 3t = 0 \Rightarrow t = 0.2 \quad\Rightarrow\quad \text{IC} = (0,\ 0.8)

پس $r_{A/\mathrm{IC}} = 0.8\ \mathrm{m}$ و

\omega = \frac{v_A}{r_{A/\mathrm{IC}}} = \frac{2}{0.8} = 2.5\ \mathrm{rad/s}

چون مرکز آنی دقیقاً بالای $A$ است و $A$ به چپ حرکت می‌کند، میله ساعتگرد می‌چرخد. همان نتیجه — گزینهٔ ۱.

به‌عنوان نکتهٔ تکمیلی، $r_{B/\mathrm{IC}} = \sqrt{0.6^{2} + 0.8^{2}} = 1.0\ \mathrm{m}$ است و در نتیجه $v_B = \omega\,r_{B/\mathrm{IC}} = 2.5\ \mathrm{m/s}$ ، که با اندازهٔ به‌دست‌آمده در بالا سازگار است.

نکتهٔ کنکوری: جرم ۸ کیلوگرمی عمداً به‌عنوان طعمه آمده است — مسئله ۱۰۰ % سینماتیکی است. تنها اصل فیزیکی موردنیاز این است که سرعت یک غلتک باید در امتداد سطحی باشد که روی آن حرکت می‌کند. هرگاه راستای سرعت هر دو نقطهٔ انتهایی معلوم باشد، روش مرکز آنی (رسم عمود از هر نقطه) در دو خط به $\omega = v/r$ می‌رسد و جهت دوران را با یک نگاه مشخص می‌کند.

Accepted Answer

۲/۵ Rad/s ساعتگرد (cw)

Answer

۲/۵ Rad/s پادساعتگرد (ccw)

Answer

۱/۵ Rad/s ساعتگرد (cw)

Answer

۱/۵ Rad/s پادساعتگرد (ccw)

صورت‌بندی مسئله

معادلهٔ سرعت نسبی

بررسی با مرکز آنی دوران (سرعت صفر)

کارت‌های مرتبط