سوال ۸۶ کنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۳ — با توجه به شکل زیر، کدام رابطه نادرست است؟ (شکل: O مبدأ ثابت، G مرکز…

Question

با توجه به شکل زیر، کدام رابطه نادرست است؟ (شکل: $O$ مبدأ ثابت، $G$ مرکز جرم سیستم و $P$ نقطهٔ شتاب‌دار است. برای ذرهٔ $m_i$ ، بردارهای $\vec r_i$ و $\vec r_G$ و $\vec r_P$ از $O$ ، بردار $\vec\rho_i$ از $G$ به ذره، بردار $\vec\rho_i^{\prime}$ از $P$ به ذره و بردار $\vec\rho_G$ از $P$ به $G$ رسم شده‌اند.)

پاسخ صحیح: گزینهٔ A — $\vec M_P=(\dot{\vec H}_P)_{\mathrm{rel}}+\vec\rho_G\times m\ddot{\vec r}_G$

پاسخ تشریحی

تکانهٔ زاویه‌ای نسبت به مبدأ متحرک

محورها را بدون دوران در نظر می‌گیریم و تکانهٔ زاویه‌ای نسبی را با سرعت‌های نسبت به $P$ تعریف می‌کنیم. روابط هندسی و خاصیت مرکز جرم عبارت‌اند از:

\vec\rho_i^{\prime}=\vec r_i-\vec r_P,\qquad \vec\rho_G=\vec r_G-\vec r_P,\qquad \sum_i m_i\vec\rho_i^{\prime}=m\vec\rho_G.

(\vec H_P)_{\mathrm{rel}}=\sum_i\vec\rho_i^{\prime}\times m_i(\dot{\vec r}_i-\dot{\vec r}_P).

با مشتق‌گیری در دستگاهی با جهت‌گیری لَخت، حاصل‌ضرب برداری هر سرعت نسبی در خودش صفر می‌شود. پس از حذف گشتاور نیروهای داخلی، قانون نیوتن گشتاور خارجی را می‌دهد:

(\dot{\vec H}_P)_{\mathrm{rel}}=\vec M_P-\vec\rho_G\times m\ddot{\vec r}_P,\qquad \boxed{\vec M_P=(\dot{\vec H}_P)_{\mathrm{rel}}+\vec\rho_G\times m\ddot{\vec r}_P}.

گزینهٔ ۱ به‌اشتباه شتاب مبدأ $\ddot{\vec r}_P$ را با شتاب مرکز جرم $\ddot{\vec r}_G$ جایگزین کرده است. اختلاف آن‌ها گشتاور اضافی $\vec\rho_G\times m(\ddot{\vec r}_G-\ddot{\vec r}_P)$ ایجاد می‌کند که در حالت کلی صفر نیست. بنابراین رابطهٔ نادرست موردنظر، گزینهٔ ۱ است.

سایر روابط استاندارد با بسط نسبت به مرکز جرم به دست می‌آیند:

\vec H_P=\vec H_G+\vec\rho_G\times m\dot{\vec r}_G,\qquad (\vec H_P)_{\mathrm{rel}}=\vec H_G+\vec\rho_G\times m\dot{\vec\rho}_G.

\sum_i m_i\vec\rho_i=0\quad\Longrightarrow\quad\sum_i\vec\rho_i\times m_i\dot{\vec\rho}_i=\sum_i\vec\rho_i\times m_i\dot{\vec r}_i.

در اسکن، میان دو جملهٔ نخست گزینهٔ ۲ علامت جمع به‌جای تساوی چاپ شده است. رابطهٔ موردنظر در بالا نوشته شده؛ عبارت چاپ‌شده به‌صورت لفظی یک معادله نیست. گزینه‌های ۳ و ۴ به همان صورت چاپ‌شده درست‌اند. همهٔ جمله‌های معادلهٔ گشتاور دارای واحد گشتاور هستند.

تلهٔ رایج: در جملهٔ اصلاح شتاب، شتاب همان نقطه‌ای را به کار ببرید که تکانهٔ زاویه‌ای نسبی نسبت به آن تعریف شده است.

Accepted Answer

vec M_P=(vec H_P)_rel+vecρ_G× mvec r_G

Answer

vec H_P+vec H_G+vecρ_G× mvec r_G

Answer

(vec H_P)_rel=vecρ_G× mvecρ_G+vec H_G

Answer

∑_ivecρ_i× m_ivecρ_i=∑_ivecρ_i× m_ivec r_i

تکانهٔ زاویه‌ای نسبت به مبدأ متحرک

کارت‌های مرتبط