یک دیسک و یک جرم متمرکز بهوسیله یک میله بدون جرم بههم وصل شدهاند و بر روی سطح شیبدار با ضریب اصطکاک μ حرکت میکنند. حرکت دیسک بدون لغزش است. μ چقدر باشد تا به میله نیرویی وارد نشود؟ (شکل: جرم دیسک و جرم متمرکز هر دو m ، شعاع دیسک r و زاویهٔ سطح با افق θ است؛ میلهٔ متصل به مرکز دیسک موازی سطح است.)

سوال ۸۷ کنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۲

اهمیت

۰/۵

یک دیسک و یک جرم متمرکز به‌وسیله یک میله بدون جرم به‌هم وصل شده‌اند و بر روی سطح شیب‌دار با ضریب اصطکاک $\mu$ حرکت می‌کنند. حرکت دیسک بدون لغزش است. $\mu$ چقدر باشد تا به میله نیرویی وارد نشود؟ (شکل: جرم دیسک و جرم متمرکز هر دو $m$ ، شعاع دیسک $r$ و زاویهٔ سطح با افق $\theta$ است؛ میلهٔ متصل به مرکز دیسک موازی سطح است.)

پاسخ صحیح: گزینهٔ C — $\dfrac{۱}{۳}\tan\theta$

پاسخ تشریحی

برابر کردن شتاب‌ها با نیروی صفر در میله

راستای مثبت را رو به پایین سطح می‌گیریم. با نیروی صفر در میله، دیسک توپر تحت اثر گرانش و نیروی اصطکاک ایستایی $f$ رو به بالای سطح حرکت می‌کند. با $I_G=mr^2/2$ و شرط غلتش بدون لغزش داریم:

mg\sin\theta-f=ma,\qquad fr=I_G\alpha,\qquad a=r\alpha.

در نتیجه:

f=\frac12ma,\qquad a_{\rm disk}=\frac23g\sin\theta.

اصطکاک جرم لغزنده رو به بالای سطح است؛ نیروی عمودی آن $mg\cos\theta$ و شتاب آن در نبود نیروی میله برابر است با:

a_{\rm block}=g\sin\theta-\mu g\cos\theta.

میلهٔ صلب، برابر بودن شتاب‌ها را الزام می‌کند. بنابراین:

\frac23g\sin\theta=g\sin\theta-\mu g\cos\theta \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\mu=\frac13\tan\theta}.

این نتیجه گزینهٔ ۳ است. ضریب اصطکاک بی‌بعد است و با صفر شدن زاویهٔ سطح به صفر می‌رسد. اصطکاک لازم برای دیسک $f=mg\sin\theta/3$ است؛ بنابراین $f/(mg\cos\theta)=\mu$ و در مدل ضریب اصطکاک مشترک صورت سؤال، غلتش دقیقاً در حد اصطکاک ایستایی ممکن است.

نکتهٔ کنکوری: «نبود نیرو در میلهٔ رابط» یعنی دو جسم در تحلیل جداگانه نیز باید شتاب یکسانی داشته باشند.

#rolling-without-slipping#incline-friction#disk-inertia#newton-second-law

کارت‌های مرتبط

مفهومدینامیک

سینتیک جسم صلب: ممان اینرسی جرمی و حرکت صفحه‌ای

ممان اینرسی جرمی و قضیهٔ محورهای موازی، معادلات حرکت صفحه‌ای sum(F)=m a_G و sum(M_G)=I_G alpha، مراکز مجاز گشتاورگیری (G، محور ثابت، نقطهٔ تماس غلتش) و دستگاه استاندارد حل مسائل غلتش، لغزش و دوران حول محور ثابت.

rigid-body-kineticsmass-moment-of-inertiaparallel-axis-theoremplane-motion