سینتیک جسم صلب: ممان اینرسی جرمی و حرکت صفحه‌ای

۱. ایدهٔ اصلی: «سینتیک جسم صلب» یعنی چه

برای یک ذره تمام ماجرا در $\sum \vec F = m\vec a$ خلاصه می‌شود. اما یک جسم صلب می‌تواند دوران هم بکند؛ پس حرکت آن به یک قانون دوم — یک معادلهٔ گشتاور — و به یک خاصیت اینرسی تازه، یعنی ممان اینرسی جرمی، نیاز دارد.

برای جسم صلب در حرکت صفحه‌ای (همهٔ نقاط موازی با یک صفحهٔ ثابت حرکت می‌کنند؛ جسم نسبت به آن صفحه متقارن است، یا دست‌کم حاصل‌ضرب‌های اینرسی آن صفر می‌شوند) مجموعهٔ کامل معادلات حاکم عبارت است از

که در آن $G$ مرکز جرم، $\vec a_G$ شتاب آن، $\alpha=\ddot\theta$ شتاب زاویه‌ای (یکسان برای همهٔ نقاط جسم) و $I_G$ ممان اینرسی جرمی حول محور گذرنده از $G$ و عمود بر صفحهٔ حرکت است.

سه معادلهٔ اسکالر $\sum F_x=ma_{Gx}$، $\sum F_y=ma_{Gy}$، $\sum M_G=I_G\alpha$ هر مسئلهٔ حرکت صفحه‌ای را حل می‌کنند: انتقال ($\alpha=0$)، دوران حول محور ثابت، و حرکت صفحه‌ای عمومی (غلتش، لغزش، مکانیزم‌ها، اجسام روی پین/غلتک/طناب).

کجا کاربرد دارد. چرخ‌طیارها و شفت‌های تحت کوپل، آونگ‌ها و میله‌های نوسان‌کننده، قرقره‌ها و یویوها، استوانه/کره‌ای که روی سطح شیب‌دار می‌غلتد، توپ بولینگ که ابتدا سُر می‌خورد و سپس می‌غلتد، میله‌ای که تحت ضربه قرار می‌گیرد، چرخ‌های در حال ترمز، عکس‌العمل یاتاقان/پین — هر جا که ابعاد جسم اهمیت دارد و نمی‌توان آن را به یک نقطه تقلیل داد.

۲. ممان اینرسی جرمی

۲.۱ تعریف

که $r$ فاصلهٔ عمودی از محور تا المان جرمی $dm$ است. یکا: $\mathrm{kg\cdot m^{2}}$. این کمیت متناظر دورانی جرم است: میزان مقاومت جسم در برابر شتاب زاویه‌ای را می‌سنجد و — نکتهٔ کلیدی — به محور بستگی دارد، نه فقط به خودِ جسم.

شعاع ژیراسیون $k$ آن را به صورت یک فاصلهٔ معادل بسته‌بندی می‌کند:

کتاب‌های مرجع $k_G$ را برای قطعات ماشین می‌دهند؛ همیشه بررسی کنید که $k$ داده‌شده به $G$ اشاره دارد یا به تکیه‌گاه.

۲.۲ قضیهٔ محورهای موازی (اشتاینر)

برای محوری موازی با محور مرکزی و به فاصلهٔ $d$ از آن،

نتایجی که ارزش حفظ‌کردن دارند: $I_G$ کمینه در میان همهٔ محورهای موازی است؛ و این قضیه را فقط می‌توان از محور مرکزی به کار برد — برای انتقال بین دو محور غیرمرکزی باید از $G$ عبور کنید ($I_1 - m d_1^{2}=I_G=I_2-m d_2^{2}$).

۲.۳ اجسام مرکب

$I$ جمع‌پذیر است: $I_{\text{axis}}=\sum_i \left( I_{G_i} + m_i d_i^{2}\right)$، با در نظر گرفتن حفره‌ها به‌عنوان جرم منفی. نتایج استاندارد (محور $\perp$ بر صفحه و گذرنده از $G$، مگر آنکه ذکر شود):

برای اجسام سه‌بعدی توصیف کامل با تانسور اینرسی $[I]$ همراه با حاصل‌ضرب‌های اینرسی $I_{xy}=\int xy\,dm$ انجام می‌شود؛ فرمول‌های حرکت صفحه‌ای فرض می‌کنند $I_{xz}=I_{yz}=0$، وگرنه یک شفت دوّار به کوپل‌های دینامیکی یاتاقان نیز نیاز پیدا می‌کند.

۳. معادلهٔ گشتاور — سه صورت مجاز

(الف) حول مرکز جرم — همیشه معتبر:

(ب) حول محور ثابت $O$ (فقط برای دوران حول محور ثابت):

و عکس‌العمل‌ها در $O$ از $\sum \vec F=m\vec a_G$ به دست می‌آیند، با

(ج) حول نقطهٔ دلخواه $P$ — صورت کلی:

جملهٔ آخر، گشتاور برایند نیروی اینرسی $m\vec a_G$ است که در $G$ قرار داده شده («دیاگرام سینتیکی» در تصویر دالامبر). این جمله دقیقاً در سه حالت صفر می‌شود — و در نتیجه $\sum M_P=I_P\alpha$ برقرار است: $P=G$؛ $P$ یک محور ثابت؛ یا $P$ همان مرکز آنی جسمی که بدون لغزش روی سطح ثابت می‌غلتد (نقطهٔ تماس $C$: $\sum M_C=I_C\alpha$ با $I_C=I_G+mr^{2}$).

۴. روش حل (گام‌به‌گام)

1. جسم و نوع حرکت را مشخص کنید. انتقال ($\alpha=0$، $\vec a_G$ مشترک میان همهٔ نقاط)، دوران حول محور ثابت ($\vec a_G$ برحسب $\alpha,\omega$ و فاصلهٔ $d$ معلوم است)، یا حرکت صفحه‌ای عمومی.
2. دیاگرام جسم آزاد را رسم کنید — هر نیرو و کوپل خارجی، شامل وزن در $G$، نیروی عمودی $N$، اصطکاک $F$، مؤلفه‌های پین/یاتاقان، کشش طناب و نیروی فنر.
3. دیاگرام سینتیکی را کنار آن رسم کنید: بردار $m\vec a_G$ در $G$ و کوپل $I_G\alpha$. رابطهٔ «FBD $=$ KD» همان زوج معادلات است.
4. قیدهای سینماتیکی را پیش از حل بنویسید: غلتش بدون لغزش $a_G=\alpha r$ و $v_G=\omega r$؛ طنابی که از شعاع $\rho$ باز می‌شود $a_{\text{cord}}=\alpha\rho$ می‌دهد؛ سرعت نقطهٔ تماس $v_C=v_G-\omega r$ تعیین می‌کند که جسم می‌لغزد یا نه.
5. نقطهٔ گشتاورگیری را هوشمندانه انتخاب کنید — یک پین، یا نقطهٔ تماس جسم غلتان — تا عکس‌العمل‌های مجهول حذف شوند و یک معادله بی‌درنگ $\alpha$ را بدهد.
6. حل کنید، سپس فرض اصطکاک را بررسی کنید. اگر غلتش فرض کرده‌اید، $|F|\le\mu_s N$ را وارسی کنید؛ اگر برقرار نبود، با $F=\mu_k N$ در خلاف جهت لغزش نقطهٔ تماس دوباره حل کنید و قید $a_G=\alpha r$ را حذف کنید.
7. هرگاه پرسش دربارهٔ زمان یا جابه‌جایی است، انرژی یا ضربه–اندازه حرکت را ترجیح دهید.

اصطکاک غلتشی (بدون لغزش) کاری انجام نمی‌دهد؛ اما اصطکاک جنبشی در حین لغزش کار انجام می‌دهد و ضربهٔ زاویه‌ای نیز وارد می‌کند.

۵. مثال کوچک حل‌شده (ساختگی)

دیسکی یکنواخت به جرم $m$ و شعاع $r$ از حال سکون روی سطح شیب‌داری با زاویهٔ $\theta$ رها می‌شود؛ ضریب اصطکاک ایستایی $\mu_s$ است. با فرض غلتش، $a_G$ و شرط برقراری این فرض را بیابید.

محور $x$ را در جهت پایین‌رفتن شیب بگیرید. دیاگرام جسم آزاد: $mg\sin\theta$ رو به پایینِ شیب، اصطکاک $F$ رو به بالای شیب، و $N$ عمود بر سطح.

قید غلتش $a_G=\alpha r \Rightarrow F=\tfrac12 m a_G$. با جای‌گذاری،

همین پاسخ در یک خط از نقطهٔ تماس نیز به دست می‌آید، جایی که اصطکاک و $N$ گشتاوری ندارند:

شرط اعتبار: $F\le\mu_s N$ ایجاب می‌کند $\tfrac13 mg\sin\theta\le\mu_s mg\cos\theta$، یعنی

فراتر از آن دیسک می‌لغزد: $F=\mu_k mg\cos\theta$ بگذارید و $a_G$ و $\alpha$ را مستقل در نظر بگیرید. به صورت کلی برای جسمی با $I_G=\beta mr^{2}$: $a_G=\dfrac{g\sin\theta}{1+\beta}$ — کره با $\beta=\tfrac25$ از دیسک با $\beta=\tfrac12$ و آن نیز از حلقه با $\beta=1$ پیشی می‌گیرد، مستقل از جرم و شعاع.

۶. حالت‌های خاص و گونه‌های دیگر

• انتقال محض ($\alpha=0$): $\sum M_G=0$، پس برایند نیروهای خارجی از $G$ می‌گذرد؛ برای یافتن محل اثر نیروی ترمزی، یا تشخیص واژگونی بلوک به جای لغزش آن به کار می‌رود.
• دوران حول محور ثابت با شروع از سکون: $\omega=0$ جملهٔ مرکزگرا را حذف می‌کند، پس $\vec a_G$ کاملاً مماسی است، $a_G=\alpha d$، و نیروی یاتاقان عمود بر بازو دقیقاً $m\alpha d$ است. در راستای بازو، عکس‌العمل در آن لحظه تنها متعادل‌کنندهٔ وزن است.
• مرکز ضربه. برای جسمی که در $O$ لولا شده است، ضربه‌ای که در فاصلهٔ $q=I_O/(md)$ از $O$ وارد شود هیچ عکس‌العمل ضربه‌ای در پین ایجاد نمی‌کند («نقطهٔ شیرین» چوب بیسبال). هم‌ارز آن، آونگ مرکب به طول $L_{\text{eq}}=I_O/(md)$ دارای $\omega_n=\sqrt{mgd/I_O}$ است.
• گذار غلتش $\to$ لغزش. جسمی که با $v_G \ne \omega r$ پرتاب شود می‌لغزد؛ اصطکاک جنبشی در خلاف سرعت نقطهٔ تماس $v_C=v_G-\omega r$ عمل می‌کند و هم‌زمان $v_G$ و $\omega$ را تغییر می‌دهد تا $v_C=0$ شود. چون $\dot v_C = a_G-\alpha r$ ثابت است، زمان لغزش برابر $t=\dfrac{|v_{C0}|}{|\dot v_C|}$ است — برای کره روی سطح تخت $|\dot v_C|=\tfrac{7}{2}\mu_k g$ و برای دیسک $3\mu_k g$. چرخش معکوس (بک‌اسپین، $\omega$ در خلاف جهت غلتش) $v_{C0}$ را بزرگ‌تر می‌کند، نه کوچک‌تر.
• قرقره‌ها و یویوها: طنابی که به شعاع داخلی $\rho$ پیچیده شده روی قرقره‌ای با شعاع تماس $r$؛ جهت غلتش قرقره به علامت گشتاور کشش طناب حول نقطهٔ تماس $C$ بستگی دارد، نه به شهود.
• اجسام متصل: برای هر جسم یک زوج FBD/KD بنویسید، به‌علاوهٔ پیوند سینماتیکی (طناب کشش‌ناپذیر، برابری سرعت خط گام چرخ‌دنده‌ها، شتاب مشترک در پین).
• حرکت ضربه‌ای / برخورد خارج از مرکز: در حین ضربه، نیروهای غیرضربه‌ای (وزن، فنرها) ناچیزند؛ اندازه حرکت زاویه‌ای را حول لولا پایسته بگیرید، $H_O=I_O\omega$، و ضریب بازگشت را روی سرعت‌های نقطهٔ تماس به کار ببرید.
• دوران کاملاً سه‌بعدی: معادلات اویلر $\sum M_x=I_x\dot\omega_x-(I_y-I_z)\omega_y\omega_z$ (و تناوب دوری آن) جایگزین $\sum M_G=I_G\alpha$ می‌شوند؛ تقدیم ژیروسکوپی $M=I\omega\,\Omega_p$ چهرهٔ کنکوری استاندارد آن‌هاست.

تلهٔ رایج: رابطهٔ $\sum M = I\alpha$ حول نقطهٔ دلخواه معتبر نیست. تنها $G$، یک محور واقعاً ثابت، یا نقطهٔ تماس جسمی که بدون لغزش می‌غلتد را می‌توان به‌همین صورت ساده به کار برد؛ حول هر نقطهٔ دیگری باید جملهٔ $\vec r_{G/P}\times m\vec a_G$ را اضافه کنید. دو تلهٔ همراه: استفاده از $I_G$ آنجا که $I_O=I_G+md^{2}$ (محور موازی) جای درست آن است (یا برعکس)، و نوشتن $a_G=\alpha r$ برای جسمی که در واقع می‌لغزد — $|F|\le\mu_s N$ را بررسی کنید، و هنگام لغزش بگذارید علامت $v_C=v_G-\omega r$ — نه جهت $v_G$ — تعیین کند اصطکاک به کدام سو است.