سوال ۲۶ کنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۳

ابتدا جمع، سپس جزء حقیقی

قرار دهید $r=1+i$. توان نخست در جمع هندسی برابر یک است، بنابراین

چون $r=\sqrt{2}e^{i\pi/4}$ است، توان صدم آن حقیقی و منفی است:

پس جزء حقیقی برابر $-1$، یعنی گزینهٔ ۲، است. برای بررسی مستقل، ضرب مجموع در $i=r-1$ همهٔ توان‌های میانی را حذف می‌کند و رابطهٔ $iz=r^{100}-r$ را می‌دهد. جزء موهومی این رابطه برابر $\operatorname{Re}(z)=-1$ است. سه مقدار پیشنهادی دیگر در این رابطه صدق نمی‌کنند.

نکتهٔ کنکوری: اندازه‌ها را جمع نکنید؛ $\operatorname{Re}(r^n)$ با چرخش آرگومان تغییر علامت می‌دهد.