سوال ۲۷ کنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۳

مقیاس بازهٔ کوچک‌شونده

قرار دهید $h=x^{-2}\to0^+$. نزدیک صفر، عامل نمایی به یک میل می‌کند و سینوس یک صفر ساده دارد:

پاسخ صفر، یعنی گزینهٔ ۱، است. یک کران نیز نتیجه را تأیید می‌کند: برای $x$ به‌اندازهٔ کافی بزرگ، روی بازه داریم $0\le\sin t\le t$ و $e^{t^3}\le e$؛ در نتیجه عبارت بین $0$ و $e/(2x)$ قرار می‌گیرد. بنابراین نمی‌تواند به یکی از ثابت‌های مثبت یا بی‌نهایت میل کند.

تلهٔ رایج: چون تابع زیر انتگرال در صفر به‌صورت خطی صفر می‌شود، انتگرال با مربع حد بالای آن مقیاس می‌شود.