سوال ۹۳ کنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۱ — در سیستم زیر با صرف‌نظر از اصطکاک در تمامی مفاصل و با در نظر گرفتن…

Question

در سیستم زیر با صرف‌نظر از اصطکاک در تمامی مفاصل و با در نظر گرفتن حالت استراحت (شرایط بدون کشیدگی یا فشردگی) فنر در $\theta=۰$ ، مقادیر $\theta$ که به‌ازای آن‌ها، سیستم در حالت تعادل قرار خواهد گرفت، از حل کدام معادله قابل یافت است؟ ( $m$ و $\ell_2$ جرم و طول میله‌های $AC$ و $BC$ و فاصله مرکز جرم $AC$ از $A$ و $BC$ از $B$ برابر $\ell_1$ و $I_o$ ممان اینرسی میله $AC$ نسبت به $A$ و میله $BC$ نسبت به $B$ است. جرم متمرکز $M$ در محل لولای مشترک میله‌ها در $C$ قرار دارد.)

توصیف شکل: $A$ تکیه‌گاه مفصلی ثابت و $B$ تکیه‌گاه غلتکی روی مسیر افقی است. فنر افقی با سختی $k$ ، $B$ را به دیوار سمت راست متصل می‌کند. دو میله یک V رو به پایین می‌سازند و $\theta$ زاویهٔ میله با افق است.

پاسخ صحیح: گزینهٔ B — $\tan\theta(۱-\cos\theta)=\dfrac{(۲m\ell_۱+M\ell_۲)g}{۴k\ell_۲^۲}$

پاسخ تشریحی

تعادل از انرژی پتانسیل

فاصلهٔ تکیه‌گاه‌ها $AB=2\ell_2\cos\theta$ است. نسبت به وضعیت افقی با فنر بدون تغییر طول، $B$ به چپ حرکت می‌کند و کشیدگی فنر برابر است با:

\delta=2\ell_2(1-\cos\theta).

انرژی پتانسیل گرانشی را در $\theta=0$ صفر می‌گیریم. مرکز جرم هر میله به‌اندازهٔ $\ell_1\sin\theta$ و نقطهٔ $C$ به‌اندازهٔ $\ell_2\sin\theta$ پایین می‌رود:

V=2k\ell_2^2(1-\cos\theta)^2-(2m\ell_1+M\ell_2)g\sin\theta.

در تعادل، تغییرات مرتبهٔ اول انرژی صفر است:

\frac{dV}{d\theta}=4k\ell_2^2(1-\cos\theta)\sin\theta-(2m\ell_1+M\ell_2)g\cos\theta=0.

\boxed{\tan\theta(1-\cos\theta)=\frac{(2m\ell_1+M\ell_2)g}{4k\ell_2^2}}.

برای وضعیت‌های غیرقائم، این نتیجه گزینهٔ ۲ است. معادلهٔ مشتق، پیش از تقسیم، در حالت صفرشدن کسینوس نیز معتبر است. دو طرف رابطهٔ نهایی بی‌بُعد هستند. گزینهٔ ۱ ممان‌های اینرسی را به‌اشتباه وارد تعادل استاتیکی کرده است. گزینه‌های ۳ و ۴ هندسهٔ تغییر طول فنر و عامل گرانش را حذف کرده‌اند و به‌صورت چاپ‌شده سازگاری ابعادی ندارند.

نکتهٔ کنکوری: تعادل استاتیکی به انرژی پتانسیل وابسته است؛ ممان‌های اینرسی داده‌شده وارد رابطه نمی‌شوند.

Accepted Answer

tanθ(۱-cosθ)=((۲mℓ_۱+Mℓ_۲)g)/(۴kℓ_۲^۲)

Answer

sinθ(۱-cosθ)=((۲mℓ_۱^۲+Mℓ_۲^۲+۲I_o)g)/(۴kℓ_۱ℓ_۲^۲)

Answer

tanθ=(۲kℓ_۲)/(۲m+M)

Answer

tanθ=(۲kℓ_۲)/(mℓ_۱+Mℓ_۲+m(۲ℓ_۲-ℓ_۱))

تعادل از انرژی پتانسیل

کارت‌های مرتبط