مرکز سطح و ممان‌های دوم سطح (قضیهٔ محورهای موازی)

ممان‌های اول و مرکز سطح‌ها، خطوط و حجم‌ها (شامل مرکز ثقل اجسام ناهمگن)، ممان‌های دوم سطح و کاربرد قضیهٔ محورهای موازی در مقاطع مرکب، ممان‌های ضربی و محورهای اصلی.

کارت مفهوم کنکور ارشد مهندسی مکانیک

اهمیت

۰/۵

۱. ایدهٔ اصلی: ممان اول، مرکز سطح و ممان دوم

دو خانواده از انتگرال‌های سطح/جرم بر استاتیک و مقاومت مصالح حاکم‌اند.

ممان‌های اول نشان می‌دهند «ماده کجا قرار گرفته است». برای یک سطح مسطح $A$ ،

Q_y=\int_A x\,dA, \qquad Q_x=\int_A y\,dA,

و مرکز سطح $C=(\bar x,\bar y)$ نقطه‌ای است که می‌توان کل سطح را در آن متمرکز کرد بدون آنکه این ممان‌های اول تغییر کنند:

\bar x=\frac{\int_A x\,dA}{\int_A dA}=\frac{Q_y}{A},\qquad \bar y=\frac{\int_A y\,dA}{A}=\frac{Q_x}{A}.

بنا به تعریف، ممان اول حول هر محور مرکزی صفر می‌شود: $\int_A (y-\bar y)\,dA=0$ . همین یک واقعیت دلیل آن است که در خمش خالص، محور خنثی از مرکز سطح می‌گذرد.

مرکز سطح در برابر مرکز جرم و مرکز ثقل.

مرکز سطح — کاملاً هندسی (وزن‌دهی با $dA$ ، $dL$ یا $dV$ ).
مرکز جرم $G$ — وزن‌دهی با چگالی: $\bar x_G=\dfrac{\int x\,\rho\,dV}{\int \rho\,dV}$ .
مرکز ثقل — وزن‌دهی با وزن $dW=g\,dm$ ؛ در میدان گرانشی یکنواخت با مرکز جرم یکسان است.

این سه تنها برای جسم همگن بر هم منطبق‌اند. یک صفحهٔ ناهمگن مرکز ثقلی دارد که مرکز هندسی‌اش نیست، و $G$ یک جسم اصلاً لازم نیست درون ماده قرار گیرد (حلقه یا مقطع ناودانی).

ممان‌های دوم (ممان اینرسی) نشان می‌دهند ماده چقدر حول یک محور پخش شده است. برای یک سطح،

I_x=\int_A y^{2}\,dA,\qquad I_y=\int_A x^{2}\,dA,\qquad I_{xy}=\int_A xy\,dA,\qquad J_O=\int_A r^{2}\,dA=I_x+I_y .

همواره $I_x,I_y,J_O>0$ (با یکای $\mathrm{length}^4$ )؛ اما ممان ضربی $I_{xy}$ می‌تواند مثبت، منفی یا صفر باشد. برای یک توزیع جرم، معادل آن ممان اینرسی جرمی $I=\int r^{2}\,dm$ است (با یکای $\mathrm{kg\,m^2}$ ) — همان جبر، با وزن‌دهی متفاوت.

کاربردها: تنش خمشی $\sigma=My/I$ و محور خنثی؛ خیز تیر $EI\,v''''=q$ ؛ کمانش اویلر $P_{cr}=\pi^{2}EI_{\min}/(KL)^{2}$ (همیشه با کوچک‌ترین $I$ اصلی)؛ پیچش شفت‌های دایره‌ای از طریق $J$ ؛ تنش برشی عرضی $\tau=VQ/(It)$ که در آن $Q$ یک ممان اول است؛ محل نیروی هیدرواستاتیک $y_{cp}=\bar y+I_{\bar x}/(\bar y A)$ ؛ مسائل پایداری/واژگونی و اجسام آویزان در استاتیک؛ و دینامیک دورانی اجسام صلب.

۲. روابط کلیدی

کمیت	رابطه
مرکز سطح، پیوسته	$\bar x=\dfrac{1}{A}\displaystyle\int_A x\,dA$
مرکز سطح، مرکب	$\bar x=\dfrac{\sum A_i \bar x_i}{\sum A_i},\quad \bar y=\dfrac{\sum A_i \bar y_i}{\sum A_i}$
مرکز ثقل	$\bar x_G=\dfrac{\sum W_i \bar x_i}{\sum W_i}$
محورهای موازی (سطح)	$I_x=\bar I_{x'}+A d_y^{2}$
محورهای موازی (ممان ضربی)	$I_{xy}=\bar I_{x'y'}+A\,d_x d_y$
محورهای موازی (جرمی)	$I_O=I_G+m d^{2}$
ممان قطبی	$J_O=I_x+I_y$
شعاع ژیراسیون	$k_x=\sqrt{I_x/A}$
محورهای دوران‌یافته	$I_{x'}=\dfrac{I_x+I_y}{2}+\dfrac{I_x-I_y}{2}\cos 2\theta-I_{xy}\sin 2\theta$
راستاهای اصلی	$\tan 2\theta_p=\dfrac{-2I_{xy}}{I_x-I_y}$
مقادیر اصلی	$I_{1,2}=\dfrac{I_x+I_y}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{I_x-I_y}{2}\right)^{2}+I_{xy}^{2}}$
پاپوس–گلدینوس	$A_{\text{surf}}=\theta\,\bar r\,L,\qquad V=\theta\,\bar r\,A$

قضیهٔ محورهای موازی (ابزار اصلی کار). اگر $\bar I_{x'}$ حول محوری گذرنده از مرکز سطح گرفته شده باشد و محور موازی $x$ به فاصلهٔ $d_y$ از آن قرار داشته باشد، آنگاه

I_x=\bar I_{x'}+A\,d_y^{2}.

طرح اثبات: با قرار دادن $y=\bar y+y'$ داریم $\;I_x=\int (\bar y+y')^{2}dA=\int y'^2dA+2\bar y\int y'\,dA+\bar y^{2}A$ ، و جملهٔ متقاطع حذف می‌شود زیرا حول محور مرکزی $\int y'\,dA=0$ است. دو نتیجهٔ مستقیم: محور مرکزی کمترین ممان اینرسی را در میان همهٔ محورهای موازی می‌دهد، و قضیه یک‌طرفه است — هرگز نمی‌توان با آن مستقیماً از یک محور غیرمرکزی به محور غیرمرکزی دیگر پرید (باید از مرکز سطح عبور کرد: نخست کم کردن، سپس افزودن).

نتایج استاندارد که باید حفظ شوند

شکل	مرکز سطح	$\bar I$ مرکزی
مستطیل $b\times h$	مرکز	$\bar I_x=\dfrac{bh^{3}}{12}$ (حول قاعده: $\dfrac{bh^{3}}{3}$ )
مثلث با قاعدهٔ $b$ و ارتفاع $h$	$\bar y=h/3$ از قاعده	$\bar I_x=\dfrac{bh^{3}}{36}$ (حول قاعده: $\dfrac{bh^{3}}{12}$ )
دایره به شعاع $R$	مرکز	$\bar I=\dfrac{\pi R^{4}}{4},\;J=\dfrac{\pi R^{4}}{2}$
نیم‌دایره به شعاع $R$	$\bar y=\dfrac{4R}{3\pi}$	$I_{\text{base}}=\dfrac{\pi R^{4}}{8}$
ربع دایره $R$	$\bar x=\bar y=\dfrac{4R}{3\pi}$	$I_{\text{edge}}=\dfrac{\pi R^{4}}{16}$
بیضی با نیم‌محورهای $a,b$	مرکز	$\bar I_x=\dfrac{\pi a b^{3}}{4}$
کمان دایره‌ای به شعاع $R$ و نیم‌زاویهٔ $\alpha$	$\bar x=\dfrac{R\sin\alpha}{\alpha}$	—
قطاع دایره‌ای $R$ با نیم‌زاویهٔ $\alpha$	$\bar x=\dfrac{2R\sin\alpha}{3\alpha}$	—
مخروط / هرم به ارتفاع $h$	$\bar y=h/4$ از قاعده	—
نیم‌کرهٔ توپر $R$	$\bar y=3R/8$	—

۳. روش — چگونه این مسائل را حل کنیم

الف. مرکز سطح یک شکل مرکب ۱. شکل را به قطعات استاندارد (مستطیل، مثلث، قطاع دایره‌ای) که مرکز سطحشان را می‌دانید تقسیم کنید؛ سوراخ‌ها و بریدگی‌ها را سطح منفی در نظر بگیرید. ۲. یک دستگاه مرجع مناسب انتخاب کنید — یک گوشه یا یک لبه — و هرگز آن را وسط حل تغییر ندهید. ۳. جدولی از $A_i,\ \bar x_i,\ \bar y_i,\ A_i\bar x_i,\ A_i\bar y_i$ تشکیل دهید. ۴. $\bar x=\sum A_i\bar x_i/\sum A_i$ و به همین ترتیب $\bar y$ . ۵. نخست از تقارن استفاده کنید: مرکز سطح روی هر محور تقارن قرار دارد، پس یک محور تقارن یک مجهول و دو محور هر دو مجهول را حذف می‌کند. (تقارن هندسی به‌تنهایی — چگالی غیریکنواخت آن را از بین می‌برد.)

ب. ممان اینرسی یک شکل مرکب ۱. ابتدا مرکز سطح $\bar y$ کل شکل را بیابید — قضیهٔ محورهای موازی به آن نیاز دارد. ۲. برای هر قطعه $\bar I_i$ مرکزی خودش را از جدول به دست آورید. ۳. جملهٔ انتقال را بیفزایید: $I=\sum\left(\bar I_i+A_i d_i^{2}\right)$ ، که در آن $d_i$ فاصلهٔ مرکز سطح قطعه تا محور مرکزی کل مقطع است. ۴. سوراخ‌ها با مقدار $-\left(\bar I_{\text{hole}}+A_{\text{hole}}d^{2}\right)$ وارد می‌شوند. ۵. در صورت نیاز، $I_{xy}$ را به همین شیوه (با $d_x d_y$ علامت‌دار) به دست آورید و سپس به محورهای اصلی دوران دهید.

ج. یافتن تجربی $G$ یک جسم (روش شاقول / آویزان کردن) جسمی که از یک پین بدون اصطکاک آویزان شده تنها دو نیرو تحمل می‌کند — عکس‌العمل پین و وزن — پس یک عضو دو نیرویی است و $G$ باید روی خط قائم گذرنده از نقطهٔ آویز قرار گیرد ( $\sum M_{\text{pin}}=0$ ). بنابراین آویزان کردن جسم از دو نقطهٔ مختلف دو خط ثابت‌بر‌جسم می‌دهد که محل تقاطعشان $G$ است؛ آویز سوم یک بررسی سازگاری است. این روش استاندارد یافتن مرکز ثقل یک قطعهٔ ناهمگن یا نامنظم است و هر «زاویهٔ آویز» را به یک معادلهٔ خطی برحسب مختصات ثابت‌بر‌جسم $G$ تبدیل می‌کند.

۴. مثال کوتاه حل‌شده (مقطع T مرکب)

یک مقطع T را در نظر بگیرید: بال $120\ \mathrm{mm}\times 20\ \mathrm{mm}$ که روی جان $20\ \mathrm{mm}\times 80\ \mathrm{mm}$ نشسته است. $y$ را از پایین جان به سمت بالا اندازه می‌گیریم. محور تقارن قائم بی‌درنگ $\bar x$ را می‌دهد (وسط عرض)، پس تنها $\bar y$ باید محاسبه شود.

قطعه	$A_i\ (\mathrm{mm^2})$	$\bar y_i\ (\mathrm{mm})$	$A_i\bar y_i$
بال	$2400$	$90$	$216\,000$
جان	$1600$	$40$	$64\,000$
$\sum$	$4000$	—	$280\,000$

\bar y=\frac{280\,000}{4000}=70\ \mathrm{mm}.

اکنون هر قطعه را به محور مرکزی $\bar x$ در $y=70\ \mathrm{mm}$ منتقل می‌کنیم:

\bar I_{\text{flange}}=\frac{120(20)^{3}}{12}=8.0\times10^{4},\qquad d=90-70=20 \;\Rightarrow\; A d^{2}=2400(20)^{2}=9.6\times10^{5},

\bar I_{\text{web}}=\frac{20(80)^{3}}{12}=8.533\times10^{5},\qquad d=70-40=30 \;\Rightarrow\; A d^{2}=1600(30)^{2}=1.44\times10^{6}.

I_{\bar x}=\left(8.0\times10^{4}+9.6\times10^{5}\right)+\left(8.533\times10^{5}+1.44\times10^{6}\right)=3.33\times10^{6}\ \mathrm{mm^{4}} .

شعاع ژیراسیون $k=\sqrt{I/A}=\sqrt{3.33\times10^{6}/4000}\approx 28.9\ \mathrm{mm}$ . توجه کنید که جملات انتقال حدود $\approx 72\%$ از $I$ را تأمین می‌کنند — در مقاطع جدارنازک، جملات $Ad^{2}$ غالب‌اند و $\bar I_i$ محلی یک بال نازک تقریباً ناچیز است.

بررسی صحت: مقدار $I$ حول پایین جان باید بزرگ‌تر باشد: $I_{\text{base}}=I_{\bar x}+A\bar y^{2}=3.33\times10^{6}+4000(70)^{2}=2.29\times10^{7}\ \mathrm{mm^{4}}$ ✓.

۵. حالت‌های خاص و گونه‌های دیگر

خط، سطح، حجم. همان فرمول با $dL$ ، $dA$ ، $dV$ : سیمی که به شکلی خم شده از مرکز خط استفاده می‌کند ( $\bar x=\sum L_i\bar x_i/\sum L_i$ )، یک صفحه از سطح‌ها و یک جسم توپر از حجم‌ها. اجسام با مواد مختلف از وزن‌ها استفاده می‌کنند: $\bar x=\sum W_i\bar x_i/\sum W_i$ .

اجسام مرکب با چگالی‌های متفاوت. به‌جای $A_i$ از $m_i=\rho_i V_i$ استفاده کنید. برای مقطع تبدیل‌یافته در مقاومت مصالح (مثلاً فولاد + بتن) همین ترفند به شکل نسبت مدولی $n=E_2/E_1$ ظاهر می‌شود که عرض را مقیاس می‌دهد.

سوراخ = سطح منفی. همواره هم سطح و هم اینرسی منتقل‌شدهٔ کامل آن $\bar I+Ad^{2}$ را کم کنید؛ فراموش کردن جملهٔ انتقال برای سوراخ خارج از مرکز رایج‌ترین خطای اینرسی مقاطع مرکب است.

ممان ضربی و محورهای اصلی. هرگاه یکی از محورها محور تقارن باشد $I_{xy}=0$ می‌شود — آنگاه $x,y$ همان محورهای اصلی‌اند. برای مقطع نامتقارن (نبشی/مقطع L، مقطع Z) داریم $I_{xy}\ne 0$ و خمش حول یک محور «افقی» خیز خارج از صفحه ایجاد می‌کند؛ باید به محورهای اصلی دوران کنید یا از دایرهٔ مور اینرسی استفاده کنید (مرکز $\left(\tfrac{I_x+I_y}{2},0\right)$ ، شعاع $\sqrt{\left(\tfrac{I_x-I_y}{2}\right)^{2}+I_{xy}^{2}}$ ). توجه کنید که $I_x+I_y=J$ یک ناوردای دوران است.

ممان اینرسی جرمی. مقدار $I_G$ برای اجسام رایج: میلهٔ باریک $\tfrac{1}{12}mL^{2}$ ؛ دیسک/استوانه $\tfrac12 mR^{2}$ (حول محور خودش)؛ کره $\tfrac25 mR^{2}$ ؛ حلقهٔ نازک $mR^{2}$ ؛ صفحهٔ مستطیلی $\tfrac{1}{12}m(a^{2}+b^{2})$ حول محور عمود بر صفحه. قضیهٔ محورهای موازی $I_O=I_G+md^{2}$ است؛ قضیهٔ محورهای عمود $I_z=I_x+I_y$ تنها برای اجسام مسطح (ورقه‌ای) برقرار است.

پاپوس–گلدینوس. دوران یک منحنی مسطح به طول $L$ (یا یک سطح $A$ ) به اندازهٔ زاویهٔ $\theta$ حول محوری که آن را قطع نمی‌کند، $A_{\text{surf}}=\theta\bar r L$ و $V=\theta\bar r A$ می‌دهد، که در آن $\bar r$ شعاع مرکز سطح است. در جهت معکوس، از حجم معلوم می‌توان مرکز سطح مجهول را یافت.

پایداری / واژگونی. جسمی روی یک سطح هنگامی واژگون می‌شود که خط قائم گذرنده از $G$ از سطح اتکا خارج شود؛ جسم آویزان در وضعیتی می‌ایستد که $G$ پایین‌ترین حالت را دارد (کمینهٔ انرژی پتانسیل) — همان شرط $\sum M_{\text{pin}}=0$ .

کاربردهای هیدرواستاتیک و برش. مرکز فشار روی یک صفحهٔ غوطه‌ور به اندازهٔ $I_{\bar x}/(\bar y A)$ پایین‌تر از مرکز سطح قرار می‌گیرد؛ ممان اول جریان برشی برابر $Q=A'\bar y'$ برای سطح آن‌سوی برش و حول محور خنثای مقطع است.

تلهٔ رایج: قضیهٔ محورهای موازی تنها از یک محور مرکزی انتقال می‌دهد و $d$ آن تا همان مرکز سطح اندازه‌گیری می‌شود — هرگز میان دو محور موازی دلخواه. برای رفتن از محور $a$ به محور $b$ باید نخست به مرکز سطح بازگردید، $\bar I=I_a-Ad_a^{2}$ ، و تنها آنگاه دوباره بیرون بروید، $I_b=\bar I+Ad_b^{2}$ . دو تلهٔ دیگر: (i) هرگز ممان اینرسی قطعات را که حول محورهای مرکزی خودشان گرفته شده‌اند بدون جملات $Ad^{2}$ با هم جمع نکنید؛ (ii) در مسائل کمانش و پرسش‌های «آیا خراب می‌شود»، از $I_{\min}$ (مقدار اصلی کوچک‌تر) استفاده کنید، نه از اینرسی حول محوری که در شکل رسم شده است.

فرمول‌های کلیدی

Centroid of an area

\bar x=\frac{1}{A}\int_A x\,dA,\qquad \bar y=\frac{1}{A}\int_A y\,dA

Composite centroid

\bar x=\frac{\sum A_i\bar x_i}{\sum A_i},\qquad \bar y=\frac{\sum A_i\bar y_i}{\sum A_i}

Center of gravity (weighted)

\bar x_G=\frac{\sum W_i\bar x_i}{\sum W_i}

Second moments of area

I_x=\int_A y^{2}\,dA,\qquad I_y=\int_A x^{2}\,dA,\qquad I_{xy}=\int_A xy\,dA

Parallel-axis theorem (area)

I_x=\bar I_{x'}+A\,d_y^{2}

Parallel-axis theorem (product of inertia)

I_{xy}=\bar I_{x'y'}+A\,d_x d_y

Parallel-axis theorem (mass)

I_O=I_G+m d^{2}

Polar moment of area

J_O=\int_A r^{2}\,dA=I_x+I_y

Radius of gyration

k_x=\sqrt{\frac{I_x}{A}},\qquad I_x=A k_x^{2}

Rotation of axes

I_{x'}=\frac{I_x+I_y}{2}+\frac{I_x-I_y}{2}\cos 2\theta-I_{xy}\sin 2\theta

Principal axes and principal moments

\tan 2\theta_p=\frac{-2I_{xy}}{I_x-I_y},\qquad I_{1,2}=\frac{I_x+I_y}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{I_x-I_y}{2}\right)^{2}+I_{xy}^{2}}

Rectangle about centroidal / base axis

\bar I_x=\frac{bh^{3}}{12},\qquad I_{\text{base}}=\frac{bh^{3}}{3}

Triangle about centroidal axis

\bar y=\frac{h}{3},\qquad \bar I_x=\frac{bh^{3}}{36}

Circle / semicircle

\bar I=\frac{\pi R^{4}}{4},\qquad J=\frac{\pi R^{4}}{2},\qquad \bar y_{\text{semi}}=\frac{4R}{3\pi}

Pappus-Guldinus theorems

A_{\text{surf}}=\theta\,\bar r\,L,\qquad V=\theta\,\bar r\,A

Hanging body (two-force member)

\sum M_{\text{pin}}=0\;\Rightarrow\; G \text{ lies on the vertical through the suspension point}

#centroid#center-of-gravity#parallel-axis-theorem#area-moment-of-inertia#composite-areas#principal-axes#radius-of-gyration

کارت‌های مرتبط

مفهوماستاتیک

تعادل خرپاها، قاب‌ها و دستگاه‌های نیروی فضایی

انتخاب جسم آزاد و مرکز گشتاور برای سازه‌ها و ماشین‌ها؛ تمایز گشتاور کامل نقطه‌ای، گشتاور حول محور جهت‌دار و زوج ناوردای سیستم پیچ‌گشتی‌وار فضایی.

free-body-diagramspatial-momentwrench-reductioncentral-axis

مفهوممقاومت مصالح

تیرها: تنش خمشی، برش عرضی و خیز

خمش تیر، برش عرضی و خیز به روش انرژی، همراه با پرش‌های نیرو و کوپل با قرارداد یکسان، امکان‌پذیری عکس‌العمل تکیه‌گاه و انتقال برش در اتصال‌دهنده‌های تیر مرکب.

combined-axial-bendingbeam-deflectioncastiglianorelative-opening

مفهوممقاومت مصالح

بارگذاری محوری، پیچش و پایداری کشسان

سازگاری محوری و حرارتی، انتقال توزیع‌شده، پیچش شفت با انتهای ثابت و حلقهٔ چسبیده، کمانش ستون انعطاف‌پذیر و پایداری میلهٔ صلب با مفصل واقعی یا حذف انتقال آزاد.

free-translationstiffness-condensationrigid-bar-stabilitydistributed-axial-load

سوالات تمرینی

استاتیکمتوسطمرکز سطح و مرکز ثقلکنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۴ — سؤال ۶۶

ورق مستطیلی ناهمگن ABCD هنگامی‌که از نقطه A آویخته می‌شود، لبه AB با راستای قائم، زاویه ۳۰ درجه و هنگامی‌که از گوشه B آویخته می‌شود، لبه AB با راستای قائم، زاویه ۴۵ درجه می‌سازد. فاصله مرکزثقل ورق از…

استاتیکمتوسطاصطکاککنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۳ — سؤال ۶۶

بلوک یکنواخت به شکل مثلث قائم‌الزاویه و به جرم m روی سطح شیب‌دار با ضریب اصطکاک ایستایی μ و با زاویهٔ شیب قابل تنظیم θ قرار دارد. اگر زاویهٔ شیب را به‌تدریج از صفر افزایش دهیم، شرط لغزش بلوک قبل از…

استاتیکمتوسطمرکز سطح و مرکز ثقلکنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۳ — سؤال ۶۷

میلهٔ نازک خمیده از سه بخش قوسی به شعاع‌های R_1 ، R_2 و R_1 تشکیل شده است، که در نقاط اتصال بر هم مماس هستند. زاویهٔ مرکزی هر یک از قوس‌ها ۲α است. نسبت R_1 به R_2 چقدر باشد، تا مرکز خط میله روی خط AB…

استاتیکسختمرکز سطح و مرکز ثقلکنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۲ — سؤال ۷۲

اگر قطاع شکل زیر به زاویهٔ مرکزی ۲α از نقطهٔ A آویزان شود، زاویه‌ای که شعاع OA با راستای قائم در حالت تعادل می‌سازد، کدام است؟ شکل: قطاع توپر یکنواخت با شعاع r و زاویهٔ مرکزی ۲α نشان داده شده است؛ A…

استاتیکمتوسطمرکز سطح و مرکز ثقلکنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۱ — سؤال ۷۳

در شکل زیر، ممان اینرسی سطح هاشورزده‌شده حول محور x چند برابر ممان اینرسی آن حول محور y است؟ شکل: مستطیل مرکزی با طول ۴r و ارتفاع ۲r ، در دو انتها به نیم‌دایره‌هایی به شعاع r متصل است. محور x افقی و…

مبانی بیومکانیکآسانتحلیل راه رفتن و حرکتکنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۱ — سؤال ۱۴۷

اگر مرکز ثقل هرکدام از بخش‌های دست مانند نقاط مشخص شده در شکل زیر باشد، مرکز ثقل کل دست در کدام نقطه قرار خواهد گرفت؟ جرم هر بخش به‌صورت همگن و درصدی از جرم کل دست بیان شده است؟ (منظور از «دست» در…

ریاضی عمومی ۱ و ۲سختحساب برداریکنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۰ — سؤال ۳۶

مختصات مرکز ثقل اولین قوس سیکلوئید x=۳(۱-cos t); y=۳(t-sin t) ، ۰≤ t≤۲π ، کدام است؟

استاتیکمتوسطمرکز سطح و مرکز ثقلکنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۰ — سؤال ۷۲

برای سطح نشان داده شده در شکل زیر، شعاع ژیراسیون حول محور x کدام است؟ توصیف شکل: ارتفاع مستطیل میانی و هریک از دو متوازی‌الاضلاع متصل به بالا و پایین آن برابر a و عرض افقی هریک ۲a/۳ است. لبهٔ دورِ دو…