برای دنبالهٔ a_n از اعداد حقیقی، کدامیک از گزارههای زیر با هم معادل (همارز) هستند؟ (اندیسها مقید به اعداد طبیعی و ε مقید به اعداد حقیقی مثبت است.) الف) ∀ ε ∃ N ∀ n (n > N ∧ a_n - a_N N ⇒ a_(N+k) - a_n N ⇒ a_(n+k) - a_n N ⇒ a_m - a_n N ∧ a_m - a_n < ε)

سوال ۴۶ کنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۱

اهمیت

۰/۵

برای دنبالهٔ $\{a_n\}$ از اعداد حقیقی، کدام‌یک از گزاره‌های زیر با هم معادل (هم‌ارز) هستند؟

(اندیس‌ها مقید به اعداد طبیعی و $\varepsilon$ مقید به اعداد حقیقی مثبت است.)

الف) $\forall \varepsilon \, \exists N \, \forall n \, (n > N \wedge |a_n - a_N| < \varepsilon)$
ب) $\forall \varepsilon \, \exists N \, \forall k \, \forall n \, (n > N \Rightarrow |a_{N+k} - a_n| < \varepsilon)$
ج) $\exists N \, \forall \varepsilon \, \forall k \, \forall n \, (n > N \Rightarrow |a_{n+k} - a_n| < \varepsilon)$
د) $\forall \varepsilon \, \exists N \, \forall n \, \forall m \, (n, m > N \Rightarrow |a_m - a_n| < \varepsilon)$
هـ) $\exists N \, \forall \varepsilon \, \exists m \, \exists n \, (m, n > N \wedge |a_m - a_n| < \varepsilon)$

#quantifier-order#cauchy-sequence#first-order-logic#logical-equivalence#epsilon-n-definition