سوال ۱۰۸ کنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۴

مسئلهٔ کمترین‌مربعاتِ فرومعین $\min_x\|Ax-b\|_2$ (با $m>n$) را با استفاده از تجزیهٔ کاملِ $QR$ به‌صورت $A=QR$ حل می‌کنیم، که در آن $Q\in\mathbb{R}^{m\times m}$ ماتریسی متعامد است و

$R=Q^{T}A=\begin{pmatrix} R_1 \\ 0 \end{pmatrix},\qquad R_1\in\mathbb{R}^{n\times n}\ \text{upper triangular}.$

ایدهٔ کلیدی — ماتریس‌های متعامد نُرمِ $2$ را حفظ می‌کنند. برای هر بردار $v$ داریم $\|Qv\|_2=\|v\|_2$، و به‌همین ترتیب $\|Q^{T}v\|_2=\|v\|_2$. بنابراین ضربِ باقی‌مانده در $Q^{T}$ طول آن را بدون تغییر باقی می‌گذارد:

$\|Ax-b\|_2=\|Q^{T}(Ax-b)\|_2=\|Q^{T}Ax-Q^{T}b\|_2=\|Rx-Q^{T}b\|_2.$

قرار می‌دهیم $Q^{T}b=\begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix}$ با $c\in\mathbb{R}^{n}$ و $d\in\mathbb{R}^{m-n}$. آنگاه

$Rx-Q^{T}b=\begin{pmatrix} R_1x \\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} R_1x-c \\ -d \end{pmatrix}.$

چون دو بلوک روی هم چیده شده‌اند، مجذورِ نُرم به‌طور تمیز تفکیک می‌شود:

$\|Ax-b\|_2^{2}=\|R_1x-c\|_2^{2}+\|d\|_2^{2}.$

تنها جملهٔ اول به $x$ وابسته است؛ جملهٔ دوم، یعنی $\|d\|_2^{2}$، ثابتی معین است. بنابراین تابع هدف با صفر کردنِ جملهٔ اول کمینه می‌شود. از آنجا که $A$ رتبهٔ ستونیِ کامل دارد، $R_1$ وارون‌پذیر است، پس دستگاهِ

$R_1x=c$

جوابِ یکتای $x^{*}=R_1^{-1}c$ دارد (که با جای‌گذاری پس‌رو به‌سادگی به‌دست می‌آید). در این نقطه $\|R_1x^{*}-c\|_2=0$ و کمترین باقی‌مانده برابر است با

$\min_x\|Ax-b\|_2=\|d\|_2.$

پس انتخابِ $x$ به‌گونه‌ای که $R_1x=c$ برقرار شود، $\|Ax-b\|_2=\|d\|_2$ می‌دهد و این کمترین مقدار ممکن است — دقیقاً گزینهٔ ۱.

چرا بقیهٔ گزینه‌ها نادرست‌اند.

• گزینهٔ ۲ ادعا می‌کند کمینه برابر $0$ است. این تنها زمانی درست است که $d=0$ (یعنی $b\in\operatorname{col}(A)$). در حالت کلی $d\neq 0$ و باقی‌مانده برابر $\|d\|_2>0$ است، پس معادلهٔ $\|Ax-b\|_2=0$ نادرست است.
• گزینهٔ ۳ «$d\neq 0$» را نتیجهٔ $R_1x=c$ می‌داند، اما $R_1x=c$ چیزی دربارهٔ $d$ نمی‌گوید؛ $d$ توسط $b$ معین می‌شود و می‌تواند صفر باشد. افزون بر این، مقدار کمینهٔ واقعی را نیز ذکر نمی‌کند.
• گزینهٔ ۴ نیازمندِ $Q^{T}Ax=b$، یعنی $Rx=b$ است؛ این یک شرطِ سازگاریِ $m$-بُعدی است که وقتی $m>n$ باشد عموماً حل‌ناپذیر است و شرطِ کمینه‌سازی هم نیست.

نکتهٔ کنکوری: در یک مسئلهٔ کمترین‌مربعاتِ QR، پاسخ همواره از افرازِ $Q^{T}b=\begin{pmatrix} c \\ d\end{pmatrix}$ خوانده می‌شود: دستگاهِ مثلثیِ کوچکِ $R_1x=c$ را برای یافتنِ کمینه‌کننده حل کنید، و نُرمِ باقی‌مانده به‌سادگی $\|d\|_2$ است — همان بخشی از $b$ که هیچ $x$ به آن نمی‌رسد.