سوال ۱۰۶ کنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۵

دو نُرم ماتریسی مورد نظر، نُرم‌های القایی (عملگری) متناظر با نُرم برداری $1$ و نُرم بی‌نهایت هستند:

• $\|A\|_1$ برابر با بیشینهٔ مجموع قدرمطلق ستون‌ها است، $\|A\|_1 = \max_{j}\sum_{i}|a_{ij}|.$
• $\|A\|_\infty$ برابر با بیشینهٔ مجموع قدرمطلق سطرها است، $\|A\|_\infty = \max_{i}\sum_{j}|a_{ij}|.$

مجموع ستون‌های $A$ (برای $\|A\|_1$):

$\text{col}_1 = |3|+|4|+|8| = 15,\quad \text{col}_2 = |-1|+|6|+|3| = 10,\quad \text{col}_3 = |2|+|-5|+|-10| = 17.$

پس $\|A\|_1 = \max\{15,10,17\} = 17$.

مجموع سطرهای $A$ (برای $\|A\|_\infty$):

$\text{row}_1 = |3|+|-1|+|2| = 6,\quad \text{row}_2 = |4|+|6|+|-5| = 15,\quad \text{row}_3 = |8|+|3|+|-10| = 21.$

پس $\|A\|_\infty = \max\{6,15,21\} = 21$.

بنابراین

$\frac{\|A\|_1}{\|A\|_\infty} = \frac{17}{21},$

که گزینهٔ (۲) است.

تلهٔ رایج: دو قاعده را جابه‌جا نکنید. زیرنویس $1$ با ستون‌ها و $\infty$ با سطرها متناظر است — یک یادیار مفید این است که «$1$» مانند یک خط عمودی (ستونی) به نظر می‌رسد، در حالی که «$\infty$» مانند یک سطر به‌صورت افقی خوابیده است. جابه‌جا کردن آن‌ها به $21/17$ می‌انجامد، یعنی پاسخ تله در گزینهٔ (۳).