سوال ۱۰۷ کنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۵

معیار وجود تجزیهٔ LU دولیتل

روش دولیتل ماتریس $A = LU$ را با $L$ پایین‌مثلثی یکه ($L_{ii}=1$) و $U$ بالامثلثی تجزیه می‌کند. چنین تجزیه‌ای بدون هیچ‌گونه جابه‌جایی سطری وجود دارد (و در آن صورت یکتاست) اگر و تنها اگر هر کهاد اصلی پیشرو از مرتبهٔ $1,2,\dots,n-1$ ناصفر باشد: $\det(A_k) \neq 0, \qquad k = 1,2,\dots,n-1.$ این دقیقاً همان شرطی است که هیچ درایهٔ محوری صفری در طول حذف گاوسی ظاهر نشود — هر درایهٔ محوری برابر نسبت دو کهاد پیشروِ متوالی است، پس صفرشدن یک کهاد پیشرو حذف را متوقف می‌کند.

برای یک ماتریس $3\times 3$ کافی است تنها دو کهاد پیشروِ نخست را بررسی کنیم: $a_{11}\neq 0$ و $\det\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}\neq 0$.

بررسی هر گزینه

گزینهٔ ۱: $a_{11}=0$. نخستین درایهٔ محوری صفر می‌شود، پس $u_{11}=a_{11}=0$ و $l_{21}=a_{21}/u_{11}$ تعریف‌نشده است — بدون محورگیری تجزیهٔ LU دولیتل وجود ندارد. ✗

گزینهٔ ۲: $a_{11}=2\neq 0$، اما $\det\begin{bmatrix} 2 & 4 \\ -1 & -2 \end{bmatrix} = -4+4 = 0$. دومین درایهٔ محوری صفر می‌شود. ✗

گزینهٔ ۳: $a_{11}=1\neq 0$، اما $\det\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 2 \end{bmatrix} = 2-2 = 0$. باز هم دومین درایهٔ محوری صفر می‌شود. ✗

گزینهٔ ۴: $a_{11}=2\neq 0$ و $\det\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} = 6 \neq 0$. هر دو کهاد پیشروِ لازم ناصفرند، پس تجزیهٔ دولیتل وجود دارد. ✓

انجام صریح آن: $\begin{bmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 0 & 3 & 4 \\ 1 & 5 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ \tfrac{1}{2} & \tfrac{11}{6} & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 0 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & -\tfrac{19}{3} \end{bmatrix}.$

پس گزینهٔ درست، ماتریس چهارم است.

نکتهٔ کنکوری: هرگز عملاً $L$ و $U$ را نسازید. دولیتل بدون محورگیری کار می‌کند اگر و تنها اگر کهادهای اصلی پیشرو تا مرتبهٔ $n-1$ ناصفر باشند، پس فقط به دنبال یک درایهٔ محوری صفر بگردید: درایهٔ $(1,1)$ صفر گزینهٔ ۱ را در یک نگاه حذف می‌کند، و بلوک بالا-چپِ $2\times 2$ منفرد گزینه‌های ۲ و ۳ را حذف می‌کند.