سوال ۱۰۶ کنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۲

کران حاکم: وضعیت (شرطیت) یک دستگاه خطی

فرض کنید $\bar{x}$ جواب دستگاه آشفته‌ای باشد که از داده‌های ذخیره‌شده/آشفته $A+\delta A$ و $b+\delta b$ ساخته شده است. قضیهٔ کلاسیک آشفتگی برای $Ax=b$ بیان می‌کند که، تا مرتبهٔ اول،

$\frac{\|\delta x\|}{\|x\|}\;\lesssim\;\kappa(A)\left(\frac{\|\delta A\|}{\|A\|}+\frac{\|\delta b\|}{\|b\|}\right),\qquad \kappa(A)=\|A\|\,\|A^{-1}\|.$

به بیان ساده: عدد وضعیت، ضریب تقویت خطای نسبی داده‌ها به خطای نسبی جواب است.

ترجمهٔ «رقم اعشاری قابل اعتماد» به خطای نسبی

می‌گوییم یک کمیت دارای $k$ رقم اعشاری قابل اعتماد (درست) است هرگاه خطای نسبی آن از مرتبهٔ $\approx 10^{-k}$ باشد. بنابراین با گرفتن $\log_{10}$ از کران بالا،

$\underbrace{-\log_{10}\frac{\|\delta x\|}{\|x\|}}_{\text{digits in }\bar{x}}\;\ge\;\underbrace{-\log_{10}\frac{\|\delta(\text{data})\|}{\|\text{data}\|}}_{\text{digits in the data}}\;-\;\log_{10}\kappa(A),$

که همان قاعدهٔ سرانگشتی مشهور است:

$\boxed{\;\text{digits}(\bar{x})\;\approx\;\text{digits(data)}\;-\;\log_{10}\kappa(A)\;}$

یعنی یک دستگاه بدوضع حدود $\log_{10}\kappa(A)$ رقم اعشاری را از دست می‌دهد.

به‌کارگیری قاعده

باید دو منبع خطای مستقل با هم مقایسه شوند و بدترین آن‌ها تعیین‌کننده است:

خطای موروثی (خطای داده‌ها) غالب است: حتی یک الگوریتم کاملاً پایدارِ پس‌رو هم نمی‌تواند بهتر از آنچه داده‌ها اجازه می‌دهند عمل کند. بنابراین

$\frac{\|\bar{x}-x\|}{\|x\|}\;\approx\;\kappa(A)\cdot 10^{-8}=10^{3}\cdot 10^{-8}=10^{-5},$

پس $\bar{x}$ حداکثر

$8-\log_{10}(10^{3})=8-3=5$

رقم اعشاری قابل اعتماد دارد. این همان گزینهٔ ۱ است.

چرا گزینه‌های دیگر نادرست‌اند

• ۷ از دقت ماشین استفاده می‌کند ($10-3=7$) و نادیده می‌گیرد که خودِ داده‌ها تنها تا ۸ رقم درست‌اند — کوچک‌ترینِ این دو دقت تعیین‌کننده است.
• ۸ اثر تقویت را به‌کلی فراموش می‌کند (‌$\kappa(A)=10^{3}$ سه رقم هزینه دارد).
• ۱۰ طول نمایش عدد در ماشین را با دقت جواب اشتباه می‌گیرد؛ حمل ۱۰ رقم به این معنا نیست که هر ۱۰ رقم درست باشند.

نکتهٔ کنکوری: رابطهٔ «تعداد ارقام از دست رفته $=\log_{10}\kappa(A)$» را به خاطر بسپارید، سپس ارقام باقی‌مانده را هم از دقت داده‌ها و هم از دقت گِردکردن ماشین حساب کنید و کمینه را بردارید. اینجا $\min(8-3,\,10-3)=\min(5,7)=5$.