سوال ۱۰۷ کنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۲

فرمول حاکم

برای نُرم اقلیدسی (طیفی، $2$)، عدد وضعیت یک ماتریس ناتکین برابر است با نسبت بزرگ‌ترین به کوچک‌ترین مقدار تکین آن:

$\kappa_{2}(A) = \|A\|_{2}\,\|A^{-1}\|_{2} = \frac{\sigma_{\max}(A)}{\sigma_{\min}(A)}.$

دقیقاً به همین دلیل است که تجزیهٔ مقادیر تکین (SVD) در اختیار ما گذاشته شده است: از $A = USV^{T}$ با متعامد بودن $U, V$ نتیجه می‌شود که درایه‌های قطری $S_{ii}$ همان مقادیر تکین $A$ هستند (عامل‌های متعامد در نُرم $2$ تساوی‌سنج‌اند: $\|A\|_{2} = \|USV^{T}\|_{2} = \|S\|_{2} = \max_i |S_{ii}|$ و به همین ترتیب $\|A^{-1}\|_{2} = \|S^{-1}\|_{2} = 1/\min_i |S_{ii}|$).

یافتن بزرگ‌ترین و کوچک‌ترین مقدار تکین

مقادیر تکین، برای $i = 1, 2, \dots, n$ با $n$ زوج، دو خانواده تشکیل می‌دهند:

$\{\,i : i \text{ even}\,\} = \{2, 4, \dots, n\}, \qquad \left\{\,\tfrac{1}{i} : i \text{ odd}\,\right\} = \left\{1, \tfrac{1}{3}, \dots, \tfrac{1}{n-1}\right\}.$

بزرگ‌ترین. خانوادهٔ زوج نسبت به $i$ صعودی است، پس بیشینهٔ آن در بزرگ‌ترین اندیس زوج رخ می‌دهد که — چون $n$ زوج است — همان $i = n$ است و مقدار $n$ را می‌دهد. خانوادهٔ فرد از بالا به $1$ کران‌دار است. چون $n \ge 2$،

$\sigma_{\max} = \max\{\,n,\ 1\,\} = n.$

کوچک‌ترین. خانوادهٔ زوج از پایین به $2$ کران‌دار است. خانوادهٔ فرد نسبت به $i$ نزولی است، پس کمینهٔ آن در بزرگ‌ترین اندیس فرد رخ می‌دهد که — باز هم چون $n$ زوج است — همان $i = n-1$ است و مقدار $\tfrac{1}{n-1}$ را می‌دهد. چون $\tfrac{1}{n-1} \le 1 < 2$،

$\sigma_{\min} = \min\left\{\,2,\ \tfrac{1}{n-1}\,\right\} = \frac{1}{n-1}.$

نتیجه‌گیری

$\kappa_{2}(A) = \frac{\sigma_{\max}}{\sigma_{\min}} = \frac{n}{\tfrac{1}{n-1}} = n(n-1).$

وارسی درستی با $n = 4$: مقادیر تکین عبارت‌اند از $1, 2, \tfrac{1}{3}, 4$، پس $\sigma_{\max}=4$، $\sigma_{\min}=\tfrac13$ و $\kappa_2 = 12 = 4\cdot 3$. این با گزینهٔ ۳ سازگار است.

نکتهٔ کنکوری: زوج یا فرد بودن $n$ تمام معمای مسئله است. چون $n$ زوج است، بزرگ‌ترین اندیسی که قاعدهٔ صعودی ($i$) را حمل می‌کند $n$ است، در حالی که بزرگ‌ترین اندیسی که قاعدهٔ نزولی ($1/i$) را حمل می‌کند $n-1$ است — و از همین‌جا پاسخ نامتقارن $n(n-1)$ به دست می‌آید و نه $n^{2}$. اگر $n$ فرد بود، به $\sigma_{\max}=n-1$ و $\sigma_{\min}=1/n$ می‌رسیدید و باز هم $\kappa_2 = n(n-1)$ حاصل می‌شد، اما از راه جفت‌شدن دیگری.

تلهٔ رایج: عدد وضعیت را با نسبت $\lambda_{\max}/\lambda_{\min}$ خودِ $A$ اشتباه نگیرید. این نسبت طیفی تنها برای ماتریس‌های متقارن (نرمال) با $\kappa_2$ برابر است؛ در حالت کلی $\sigma_i(A) = \sqrt{\lambda_i(A^{T}A)}$ است و اینجا SVD مستقیماً آن‌ها را در اختیارتان می‌گذارد. همچنین توجه کنید که $n^{2}$ (گزینهٔ ۱) تلهٔ کسی است که $\sigma_{\min}=1/n$ می‌خواند و $(n-1)^{2}$ (گزینهٔ ۲) تلهٔ کسی است که $\sigma_{\max}=n-1$ می‌گیرد.