سوال ۱۱۱ کنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۰

نتیجهٔ حاکم: کران اغتشاش برای $\mathbf{Ax}=\mathbf{b}$

اگر داده‌ها به $\mathbf{A}+\delta\mathbf{A}$ و $\mathbf{b}+\delta\mathbf{b}$ مغشوش شوند و $\bar{\mathbf{x}}$ جواب دستگاه مغشوش باشد، آنگاه (تا مرتبهٔ اول، به شرط $\kappa(\mathbf{A})\|\delta \mathbf{A}\|/\|\mathbf{A}\|<1$) داریم

$\frac{\|\bar{\mathbf{x}}-\mathbf{x}\|}{\|\mathbf{x}\|}\;\lesssim\;\kappa(\mathbf{A})\left(\frac{\|\delta\mathbf{A}\|}{\|\mathbf{A}\|}+\frac{\|\delta\mathbf{b}\|}{\|\mathbf{b}\|}\right),\qquad \kappa(\mathbf{A})=\|\mathbf{A}\|\,\|\mathbf{A}^{-1}\|.$

پس عدد وضعیت همان ضریب تقویت است: خطای نسبی داده‌ها را در خود ضرب می‌کند و خطای نسبی جواب را می‌دهد.

تبدیل «تعداد رقم» به خطای نسبی

داشتن $t$ رقم اعشاری قابل اعتماد یعنی خطای نسبی از مرتبهٔ $10^{-t}$. دو منبع خطای مستقل وارد می‌شوند:

یک حل‌کنندهٔ پایدارِ پسرو (حذف گاوسی با محورگیری) جوابِ دقیقِ یک دستگاهِ نزدیک را با خطای پسروی $O(u)=O(10^{-15})$ برمی‌گرداند، که پنج مرتبهٔ بزرگی کوچک‌تر از خطای $10^{-10}$ است که از پیش در داده‌ها وجود دارد. بنابراین اغتشاش مؤثر کل بر داده‌ها را عدم قطعیت خودِ داده‌ها تعیین می‌کند:

$\frac{\|\delta\mathbf{A}\|}{\|\mathbf{A}\|}+\frac{\|\delta\mathbf{b}\|}{\|\mathbf{b}\|}+O(u)\;\approx\;10^{-10}.$

اعمال کران

$\frac{\|\bar{\mathbf{x}}-\mathbf{x}\|}{\|\mathbf{x}\|}\;\lesssim\;\kappa(\mathbf{A})\cdot 10^{-10}=10^{4}\cdot 10^{-10}=10^{-6}.$

خطای نسبی $10^{-6}$ یعنی حدود $6$ رقم اعشاری درست. هم‌ارز با آن، در قالب قاعدهٔ سرانگشتی کلاسیک:

$\#\text{reliable digits in }\bar{\mathbf{x}}\;\approx\;t_{\text{data}}-\log_{10}\kappa(\mathbf{A})=10-4=6 .$

پس حداکثر ۶ رقم اعشاری از $\bar{\mathbf{x}}$ قابل اعتماد است — گزینهٔ ۱.

چرا گزینه‌های دیگر تله‌های طراحی‌شده‌اند

• ۱۵ — چنین وانمود می‌کند که فقط دقت ماشین تعیین‌کنندهٔ صحت است؛ هم عدم قطعیت داده‌ها و هم وضعیت‌داری (conditioning) را نادیده می‌گیرد.
• ۱۱ — استفاده از ارقام ماشین به‌جای ارقام داده: $15-4=11$. اما هیچ محاسبه‌ای نمی‌تواند اطلاعاتی را که در ورودی نیست بسازد: داده‌ها از پیش عدم قطعیتی به اندازهٔ $10^{-10}$ دارند.
• ۷ — خطای یکی‌کم‌وبیش ناشی از تفریق نادرست $\log_{10}10^{4}=4$.

نکتهٔ کنکوری: «ارقام قابل اعتماد خروجی $=$ ارقام قابل اعتماد ورودی $-\log_{10}\kappa$»، و «ارقام ورودی» همان دقت کوچک‌تر از میان (دقت داده، دقت ماشین) است. اینجا $\min(10,15)=10$، پس $10-4=6$. ارقام اضافی ماشین هرگز صحتی را که در داده‌ها وجود ندارد نمی‌خرند.