سوال ۱۲۷ کنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۳

روش: استانداردسازی هر متغیر نرمال به نمرهٔ $Z$

برای یک متغیر نرمال با میانگین $\mu$ و واریانس $\sigma^2$، داریم $P(V \le v) = \Phi\!\left(\dfrac{v-\mu}{\sigma}\right)$، که در آن $\Phi$ تابع توزیع تجمعی نرمال استاندارد است. چون $\Phi$ اکیداً صعودی است، مقایسهٔ احتمال‌ها معادل مقایسهٔ مقادیر استانداردشدهٔ $z$ است.

یادآوری می‌شود که نمادگذاری در اینجا به‌صورت $N(\mu,\sigma^2)$ است، بنابراین واریانس‌ها برابر $4,9,16$ و انحراف‌معیارها برابر $2,3,4$ هستند.

محاسبهٔ نمرهٔ $z$ برای هر متغیر:

$X \sim N(2,4),\ \sigma=2:\quad z_X = \frac{1-2}{2} = -0.50$

$Y \sim N(0,9),\ \sigma=3:\quad z_Y = \frac{-2-0}{3} = -0.667$

$W \sim N(15,16),\ \sigma=4:\quad z_W = \frac{12-15}{4} = -0.75$

مرتب‌سازی نمرات $z$:

$z_W = -0.75 \;<\; z_Y = -0.667 \;<\; z_X = -0.50.$

اعمال تابع صعودی $\Phi$ ترتیب را حفظ می‌کند:

$P(W \le 12) \;\le\; P(Y \le -2) \;\le\; P(X \le 1).$

این گزینهٔ ۲ است.

نکتهٔ کنکوری: هرگز آستانه‌های خام را با هم مقایسه نکنید — مقداری که (برحسب واحد $\sigma$) دورتر از میانگین خودش در پایین قرار دارد، احتمال دُم چپ کوچک‌تری دارد. کافی است استانداردسازی کنید و نمرات $z$ را مرتب کنید؛ نیازی به جدول نیست.