برپایی مسئله
فرض کنید X ∼ Poisson ( λ ) X \sim \text{Poisson}(\lambda) X ∼ Poisson ( λ ) P ( X = k ) = e − λ λ k k ! P(X=k)=e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^{k}}{k!} P ( X = k ) = e − λ k ! λ k
F ( 1 ) = P ( X ≤ 1 ) = e − λ ( 1 + λ ) , F(1)=P(X\le 1)=e^{-\lambda}\left(1+\lambda\right), F ( 1 ) = P ( X ≤ 1 ) = e − λ ( 1 + λ ) ,
F ( 2 ) = P ( X ≤ 2 ) = e − λ ( 1 + λ + λ 2 2 ) . F(2)=P(X\le 2)=e^{-\lambda}\left(1+\lambda+\frac{\lambda^{2}}{2}\right). F ( 2 ) = P ( X ≤ 2 ) = e − λ ( 1 + λ + 2 λ 2 ) .
اعمال شرط
فرض مسئله 2.6 F ( 1 ) = F ( 2 ) 2.6\,F(1)=F(2) 2.6 F ( 1 ) = F ( 2 ) e − λ > 0 e^{-\lambda}>0 e − λ > 0
2.6 ( 1 + λ ) = 1 + λ + λ 2 2 . 2.6\left(1+\lambda\right)=1+\lambda+\frac{\lambda^{2}}{2}. 2.6 ( 1 + λ ) = 1 + λ + 2 λ 2 .
بسط داده و جملهها را مرتب میکنیم:
2.6 + 2.6 λ = 1 + λ + λ 2 2 ⟹ 1.6 + 1.6 λ − λ 2 2 = 0. 2.6+2.6\lambda = 1+\lambda+\frac{\lambda^{2}}{2}\;\Longrightarrow\; 1.6+1.6\lambda-\frac{\lambda^{2}}{2}=0. 2.6 + 2.6 λ = 1 + λ + 2 λ 2 ⟹ 1.6 + 1.6 λ − 2 λ 2 = 0.
ضرب در 2 2 2
λ 2 − 3.2 λ − 3.2 = 0. \lambda^{2}-3.2\lambda-3.2=0. λ 2 − 3.2 λ − 3.2 = 0.
حل
λ = 3.2 ± 3.2 2 + 4 ( 3.2 ) 2 = 3.2 ± 10.24 + 12.8 2 = 3.2 ± 23.04 2 = 3.2 ± 4.8 2 . \lambda=\frac{3.2\pm\sqrt{3.2^{2}+4(3.2)}}{2}=\frac{3.2\pm\sqrt{10.24+12.8}}{2}=\frac{3.2\pm\sqrt{23.04}}{2}=\frac{3.2\pm 4.8}{2}. λ = 2 3.2 ± 3. 2 2 + 4 ( 3.2 ) = 2 3.2 ± 10.24 + 12.8 = 2 3.2 ± 23.04 = 2 3.2 ± 4.8 .
ریشهها λ = 4 \lambda=4 λ = 4 λ = − 0.8 \lambda=-0.8 λ = − 0.8 λ > 0 \lambda>0 λ > 0 λ = 4 \lambda=4 λ = 4
نتیجه
برای یک متغیر پواسون E ( X ) = λ E(X)=\lambda E ( X ) = λ
E ( X ) = 4. E(X)=4. E ( X ) = 4.
این گزینهٔ ۳ است.
نکتهٔ کنکوری: بهمحض اینکه عاملهای e − λ e^{-\lambda} e − λ λ \lambda λ 23.04 = 4.8 \sqrt{23.04}=4.8 23.04 = 4.8 λ \lambda λ