سوال ۱۲۶ کنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۳

صورت‌بندی مسئله

طول هر ماهی یک نمونه‌گیری مستقل از توزیع $X \sim \mathrm{Uniform}(5, 25)$ است، زیرا $f(x) = \frac{1}{20}, \qquad 5 < x < 25,$ که چگالی توزیع یکنواخت روی بازه‌ای به طول $25 - 5 = 20$ است.

احتمال اینکه یک ماهی کوتاه‌تر از ۱۰ سانتی‌متر باشد

$P(X < 10) = \int_{5}^{10} \frac{1}{20}\,dx = \frac{10 - 5}{20} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}.$

بیشینهٔ نمونه

فرض کنید $X_1, X_2, X_3$ سه طول (مستقل و هم‌توزیع) باشند و $M = \max(X_1, X_2, X_3)$ بزرگ‌ترین آن‌ها باشد. اتحاد کلیدی آمارهٔ مرتب چنین است: $P(M < c) = P(X_1 < c,\ X_2 < c,\ X_3 < c) = \prod_{i=1}^{3} P(X_i < c),$ زیرا بیشینه کوچک‌تر از $c$ است اگر و تنها اگر هر یک از مشاهدات کوچک‌تر از $c$ باشد، و مشاهدات مستقل‌اند.

بنابراین $P(M < 10) = \big(P(X < 10)\big)^3 = \left(\frac{1}{4}\right)^3 = \frac{1}{64}.$

این با گزینهٔ ۱ مطابقت دارد.

نکتهٔ کنکوری: «بزرگ‌ترین مقدار کوچک‌تر از $c$ است» به «همهٔ مقادیر کوچک‌تر از $c$ هستند» ترجمه می‌شود و حاصل‌ضرب تمیز $[F(c)]^n$ را می‌دهد. آن را با «کوچک‌ترین مقدار کوچک‌تر از $c$ است» که برابر $1 - [1 - F(c)]^n$ است اشتباه نگیرید.