سوال ۱۴۵ کنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۰

اگر $\{X_n , n\ge 0\}$ یک زنجیر مارکوف با توزیع اولیه $P(X_\circ = k)=\left(\frac{1}{2}\right)^k$ , $k=1,2,\ldots$ و احتمالات تغییر وضعیت $P_{11}=P_{12}=\frac{1}{2}\ ,\qquad P_{j1}=\frac{1}{j+1}\ ,\qquad P_{j\,j+1}=\frac{j}{j+1}\quad (j\ge 2)$ آن‌گاه $P(X_1=1)$ کدام است؟