سوال ۶۸ کنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۴

همه چیز درون فضای متریک $\mathbb{Q}$ (با توپولوژی زیرفضایی برخاسته از $\mathbb{R}$) محاسبه می‌شود، بنابراین باز/بسته/مرز/نقاط حدی همگی نسبت به $\mathbb{Q}$ در نظر گرفته می‌شوند، نه $\mathbb{R}$.

چون $\sqrt{2}$ گنگ است، $E=\{x\in\mathbb{Q}: x^{2}<2\}=(-\sqrt{2},\sqrt{2})\cap\mathbb{Q}=[-\sqrt{2},\sqrt{2}]\cap\mathbb{Q},$ زیرا نقاط انتهایی $\pm\sqrt{2}$ در $\mathbb{Q}$ نیستند، پس گنجاندن یا کنار گذاشتن آن‌ها هیچ تفاوتی در نقاط گویا ایجاد نمی‌کند.

گزینهٔ ۱ — $E$ باز است (درست). $(-\sqrt{2},\sqrt{2})$ در $\mathbb{R}$ باز است و $E=(-\sqrt{2},\sqrt{2})\cap\mathbb{Q}$ اشتراک یک مجموعهٔ باز از $\mathbb{R}$ با $\mathbb{Q}$ است، پس در زیرفضای $\mathbb{Q}$ باز است.

گزینهٔ ۲ — $E$ بسته است (درست). $[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$ در $\mathbb{R}$ بسته است و $E=[-\sqrt{2},\sqrt{2}]\cap\mathbb{Q}$ اشتراک یک مجموعهٔ بسته با $\mathbb{Q}$ است، پس در $\mathbb{Q}$ بسته است. بنابراین $E$ در $\mathbb{Q}$ همزمان باز و بسته (clopen) است — چیزی که تنها به این دلیل ممکن است که $\mathbb{Q}$ کاملاً ناهمبند است.

گزینهٔ ۳ — مرز برابر $\{-\sqrt{2},\sqrt{2}\}$ است (نادرست). مرز عبارت است از $\partial E=\overline{E}\setminus E^{\circ}$ و زیرمجموعه‌ای از فضای زمینهٔ $\mathbb{Q}$ است. چون $E$ در $\mathbb{Q}$ همزمان باز و بسته است، بستار و درون آن در $\mathbb{Q}$ هر دو برابر $E$ هستند، پس $\partial_{\mathbb{Q}} E=\overline{E}\setminus E^{\circ}=E\setminus E=\varnothing.$ افزون بر این، $-\sqrt{2}$ و $\sqrt{2}$ گنگ‌اند، پس اصلاً نقاطی از $\mathbb{Q}$ نیستند و نمی‌توانند به مرز تعلق داشته باشند. بنابراین ادعای $\partial E=\{-\sqrt{2},\sqrt{2}\}$ نادرست است. (این دو نقطه مرز مجموعهٔ متناظر در $\mathbb{R}$ هستند، نه در $\mathbb{Q}$ — و این همان تله است.)

گزینهٔ ۴ — هر نقطهٔ $E$ یک نقطهٔ حدی است (درست). هر $x\in E$ را در نظر بگیرید، پس $-\sqrt{2}<x<\sqrt{2}$. هر همسایگی $x$ شامل بی‌شمار عدد گویای دیگر از $(-\sqrt{2},\sqrt{2})$ است (به‌دلیل چگالی $\mathbb{Q}$) که همگی در $E$ قرار دارند. پس هر نقطهٔ $E$ یک نقطهٔ انباشتگی $E$ است (در واقع $E$ مجموعه‌ای شبه‌کامل و بدون نقطهٔ منزوی است).

تنها گزارهٔ نادرست گزینهٔ ۳ است.

تلهٔ رایج: ویژگی‌های توپولوژیکی همواره نسبت به فضای زمینه سنجیده می‌شوند. در $\mathbb{R}$، مرز $E$ برابر $\{\pm\sqrt{2}\}$ می‌شد؛ اما در $\mathbb{Q}$ آن نقاط گنگ اصلاً وجود ندارند، مجموعه همزمان باز و بسته می‌شود، و مرزش تهی است.