سوال ۶۷ کنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۴

یک دنبالهٔ $(a_n)$ در فضای متریک $(\mathbb{R},d)$ کوشی است اگر و تنها اگر $\forall\varepsilon>0\ \exists N\ \forall m,n\ge N:\ d(a_m,a_n)<\varepsilon.$ در اینجا $a_n=n$ است، پس باید $d(m,n)$ را برای مقادیر بزرگ $m,n$ بررسی کنیم. آزمون تعیین‌کننده این است که در تعریف، یک زوج دور از هم مانند $m=N,\ n=2N$ را قرار دهیم: اگر $d$ در آنجا از $0$ فاصله‌ای کراندار حفظ کند، دنباله نمی‌تواند کوشی باشد.

گزینهٔ ۱ — $d(x,y)=|x-y|$ (متریک معمولی). $d(N,2N)=|N-2N|=N\xrightarrow[N\to\infty]{}\infty,$ بنابراین $d(a_m,a_n)$ سرانجام کوچک نمی‌شود. کوشی نیست. (در واقع $(n)$ نمونهٔ نمونه‌وار یک دنبالهٔ واگرا است.)

گزینهٔ ۲ — $d(x,y)=\dfrac{|x-y|}{1+|x-y|}$ (متریک کراندار). با قرار دادن $t=|m-n|$ داریم $d=\dfrac{t}{1+t}$ که نسبت به $t$ صعودی است. برای $m=N,\ n=2N$: $d(N,2N)=\frac{N}{1+N}\xrightarrow[N\to\infty]{}1.$ هر چقدر هم $N$ بزرگ باشد، زوجی فراتر از آن وجود دارد که فاصله‌اش نزدیک به $1$ است. کوشی نیست.

گزینهٔ ۴ — متریک گسسته. جمله‌های $1,2,3,\dots$ دوبه‌دو متمایزند، پس $d(m,n)=1$ برای هر $m\neq n$. با انتخاب $\varepsilon=\tfrac12$ می‌بینیم که شرط کوشی برقرار نمی‌شود. کوشی نیست.

گزینهٔ ۳ — $d(x,y)=\dfrac{|x-y|}{\sqrt{1+x^{2}}\,\sqrt{1+y^{2}}}$. از نامساوی $\sqrt{1+t^{2}}\ge t$ برای $t>0$ استفاده می‌کنیم، پس برای اعداد صحیح مثبت $m,n$ مخرج در نامساوی $\sqrt{1+m^{2}}\sqrt{1+n^{2}}\ge mn$ صدق می‌کند، در حالی که $|m-n|\le m+n$. بنابراین $d(m,n)=\frac{|m-n|}{\sqrt{1+m^{2}}\sqrt{1+n^{2}}}\le\frac{m+n}{mn}=\frac{1}{m}+\frac{1}{n}.$ برای $m,n\ge N$ این نامساوی $d(m,n)\le \dfrac{2}{N}$ را می‌دهد. با فرض $\varepsilon>0$، عدد $N>2/\varepsilon$ را انتخاب می‌کنیم؛ آنگاه $d(a_m,a_n)<\varepsilon$ برای همهٔ $m,n\ge N$. پس $(n)$ تحت این متریک کوشی است.

نتیجه این‌که گزینهٔ درست گزینهٔ ۳ است.

راهی روشنگر برای دیدن آن: برای اندیس‌های بزرگ داریم $d(m,n)\approx\dfrac{|m-n|}{mn}=\left|\dfrac1m-\dfrac1n\right|$، پس تحت متریک ۳، دنبالهٔ $n\mapsto n$ رفتار دنبالهٔ کوشی $\tfrac1n$ را تقلید می‌کند. این متریک $\mathbb{R}$ را طوری «می‌فشارد» که $n\to\infty$ به یک دنبالهٔ کوشی با هیچ حدی در $\mathbb{R}$ تبدیل می‌شود — یعنی $(\mathbb{R},d)$ کامل نیست.

نکتهٔ کنکوری: کوشی بودن یک خاصیت متریک است، نه خاصیت مجموعهٔ زیرین. همان دنبالهٔ $\{n\}$ در متریک معمولی به‌شدت واگرا است اما در متریک ۳ کوشی است — یک دنبالهٔ کوشی لزوماً همگرا نیست مگر آن‌که فضا کامل باشد.