مجموعه‌های باز و بسته، درون، بستار، مرز و چگالی
در یک فضای متریک، عملگرهای نقطه‌مجموعه‌ای با اتحاد overline A=A∪ A'=A^(∘)sqcup∂ A ، با دوگانی متمم‌گیری (A^(∘))^c=overline A^c (پس X∖ A دقیقاً وقتی چگال است که A^(∘)=∅ )، با فرهنگ‌نامهٔ فاصله overline A= d(·,A)=0 ، A^(∘)= d(·,X∖ A)>0 و با آزمون‌های مرزی (بسته ⇔∂ A⊆ A ، باز ⇔∂ A∩ A=∅ ، هم‌باز‌وبسته ⇔∂ A=∅ — که دقیقاً همان آزمون همبندی است) به هم گره خورده‌اند؛ overline A ، A' ، ∂ A و مجموعهٔ نقاط تراکم بنا به ساختارشان بسته‌اند، حال آن‌که مجموعهٔ نقاط منزوی A∖ A' لزوماً بسته نیست، B(a,r) می‌تواند اکیداً کوچک‌تر از گوی بسته باشد، دو مجموعهٔ بستهٔ مجزا می‌توانند در فاصلهٔ 0 از هم بنشینند مگر آن‌که یکی فشرده باشد، ∂ A تنها وقتی درون تهی دارد که A باز یا بسته باشد، و چگالی یعنی overline D=X ، یعنی « D هر مجموعهٔ باز ناتهی را قطع می‌کند».
open-closed-setsclosureinteriorboundary