توپولوژیTopology
فضاهای توپولوژیک، پیوستگی، فشردگی، همبندی و توپولوژی متریک.
کنکور ارشد ریاضی
مباحث
کارت‌ها · 5
گوی‌های باز یک متریک، تمام توپولوژی آن را تعیین می‌کنند؛ بنابراین بازبودن، پیوستگی، همگرایی، فشردگی و همبندی تحت هر تغییرِ متریکِ هم‌ارز ( dmapstod/(1+d) ) پابرجا می‌مانند — و «همانیِ (X,d)→(X,ρ) یک هومئومورفیسم است» دقیقاً همان «مجموعه‌های باز یکسان، دنباله‌های همگرای یکسان یا مجموعه‌های فشردهٔ یکسان» است، ولی اکیداً ضعیف‌تر از کران دوطرفهٔ لیپشیتسی α^(-1)d≤ρ≤β d ؛ در مقابل کوشی‌بودن/کامل‌بودن فقط تحت هم‌ارزیِ یکنواخت و کرانداری فقط تحت هم‌ارزیِ لیپشیتسی حفظ می‌شوند؛ از همین رو همبندی یک مقدارِ فاصلهٔ ممنوع را به یک کرانِ سراسری ارتقا می‌دهد، تسلطِ یک‌طرفهٔ d_1≤ d_2 تنها τ_(d_1)⊆τ_(d_2) را می‌دهد (بازبودن و درون‌ها از درشت → ریز و فشردگی، بستارها و نقاط حدی از ریز → درشت سفر می‌کنند)، ∑_n d(x_n,x_(n+1))<∞⇒ کوشی ⇒ d(x_n,x_(n+1))→0 که هر دو پیکان برگشت‌ناپذیرند، «هر تک‌عضوی باز است» ناهمبندی کامل و فشرده = متناهی را تحمیل می‌کند ولی هرگز کامل‌بودن را، کرانداریِ هر تابع پیوستهٔ حقیقی‌مقدار (و نه هر خودنگاشت) مشخصهٔ فشردگی است، و bigcap_koverline x_n:n≥ k (مجموعهٔ نقاط انباشت) تنها در فضای فشرده همگرایی را تضمین می‌کند.
پیوستگی یک ویژگی موضعی است که با تصویرهای وارون تعریف می‌شود — در جهت جلو تنها نامساوی بستاری f(A)subseteqf(A) را در اختیار می‌گذارد، پس یک نگاشت پیوستهٔ پوشا مجموعه‌های چگال را به مجموعه‌های چگال و مجموعه‌های همبند را به مجموعه‌های همبند می‌برد (و از همین‌جا دوگانگی «تصویر متریک همبند یا یک نقطه است یا ناشمارا» به دست می‌آید)، در حالی که تصویر مجموعه‌های باز، بسته، کران‌دار، کوشی یا هیچ‌جا چگال بدرفتاری می‌کند — حال آنکه پیوستگی یکنواخت یک δ را برای کل فضا تثبیت می‌کند، زیر جمع و ترکیب پایدار است ولی زیر ضرب و تقسیم نه، و ویژگی‌ای متریک است نه توپولوژیک، چنان‌که یک هومئومورفیسم می‌تواند آن را نابود کند.
یک مجموعه فشرده است اگر و تنها اگر هر پوشش باز آن زیرپوشش متناهی داشته باشد؛ فشردگی خاصیتی ذاتی است (مستقل از فضای دربرگیرنده) و حکم کارساز آن این است که تصویر پیوستهٔ یک مجموعهٔ فشرده فشرده می‌ماند — همین یک حکم قضیهٔ هاینه–برل، قضیهٔ مقدار اکسترمم، همسان‌ریختی‌های خودکار و پیوستگی یکنواخت را می‌دهد، از جمله انتقال پیوستگی یکنواخت به عقب از طریق یک فضای فشردهٔ میانی.
در یک فضای متریک، عملگرهای نقطه‌مجموعه‌ای با اتحاد overline A=A∪ A'=A^(∘)sqcup∂ A ، با دوگانی متمم‌گیری (A^(∘))^c=overline A^c (پس X∖ A دقیقاً وقتی چگال است که A^(∘)=∅ )، با فرهنگ‌نامهٔ فاصله overline A= d(·,A)=0 ، A^(∘)= d(·,X∖ A)>0 و با آزمون‌های مرزی (بسته ⇔∂ A⊆ A ، باز ⇔∂ A∩ A=∅ ، هم‌باز‌وبسته ⇔∂ A=∅ — که دقیقاً همان آزمون همبندی است) به هم گره خورده‌اند؛ overline A ، A' ، ∂ A و مجموعهٔ نقاط تراکم بنا به ساختارشان بسته‌اند، حال آنکه مجموعهٔ نقاط منزوی A∖ A' لزوماً بسته نیست، B(a,r) می‌تواند اکیداً کوچک‌تر از گوی بسته باشد، دو مجموعهٔ بستهٔ مجزا می‌توانند در فاصلهٔ 0 از هم بنشینند مگر آنکه یکی فشرده باشد، ∂ A تنها وقتی درون تهی دارد که A باز یا بسته باشد، و چگالی یعنی overline D=X ، یعنی « D هر مجموعهٔ باز ناتهی را قطع می‌کند».
فشردگی، همبندی، کامل‌بودن و چگالی چهار ویژگی سراسری مستقل از یکدیگر برای زیرمجموعه‌های R^n هستند — تنها استلزامی که کنکور می‌تواند بر آن تکیه کند این است: همبند با بیش از یک نقطه ⇒ بدون نقطهٔ منزوی ⇒ ناشمارا.