سوال ۶۶ کنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۳

روابط استاندارد زیر را برای یک زیرمجموعهٔ $A$ از یک فضای متریک (یا توپولوژیک) $X$ به یاد بیاورید:

• درون $A^{\circ}$ = بزرگ‌ترین مجموعهٔ باز مشمول در $A$.
• بستار $\bar{A}$ = کوچک‌ترین مجموعهٔ بستهٔ شامل $A$؛ به‌طور هم‌ارز $\bar{A}=A\cup A'$.
• مرز $\partial A = \bar{A}\setminus A^{\circ} = \bar{A}\cap \overline{X\setminus A}$.

هر گزینه را بررسی می‌کنیم.

گزینهٔ ۲ — $\bar{A}=A^{\circ}\cup\partial A$ و $\partial A=\bar{A}\setminus A^{\circ}$. چون $A^{\circ}\subseteq \bar{A}$ و $\partial A=\bar{A}\setminus A^{\circ}$، نتیجه می‌گیریم که $A^{\circ}\cup\partial A=\bar{A}$ و دو تکهٔ آن مجزا هستند. درست.

گزینهٔ ۳ — $A^{\circ}$ بنا بر تعریف اجتماع همهٔ مجموعه‌های باز مشمول در $A$ است، پس بزرگ‌ترین مجموعهٔ باز از این نوع است. هر مجموعهٔ باز $G\subseteq A$ یکی از آن‌هاست، بنابراین $G\subseteq A^{\circ}$. درست.

گزینهٔ ۴ — $\bar{A}$ اشتراک همهٔ مجموعه‌های بستهٔ شامل $A$ است، پس کوچک‌ترین مجموعهٔ بستهٔ از این نوع است. هر مجموعهٔ بستهٔ $F\supseteq A$ آن را در بر می‌گیرد، بنابراین $\bar{A}\subseteq F$. درست.

گزینهٔ ۱ — ادعای $\partial A = A\cap A'$. این نادرست است. قرار دهید $X=\mathbb{R}$ و $A=\{0\}$.

$A^{\circ}=\varnothing,\qquad \bar{A}=\{0\},\qquad \partial A=\bar{A}\setminus A^{\circ}=\{0\}.$

اما $0$ یک نقطهٔ منفرد از $A$ است، پس نقطهٔ حدی نیست: $A'=\varnothing$. از این رو

$A\cap A' = \{0\}\cap\varnothing = \varnothing \neq \{0\} = \partial A.$

این فرمول دقیقاً به این دلیل شکست می‌خورد که نقاط مرزی می‌توانند نقاط منفرد $A$ باشند (که در $A$ قرار دارند اما در $A'$ نه)، و نقاط مرزی می‌توانند خارج از $A$ نیز باشند (در $\partial A\cap A'$ اما نه در $A$). پس تجزیهٔ درست عبارت است از $\partial A=(\partial A\cap A)\cup(\partial A\setminus A)$، و هرگز صرفاً $A\cap A'$ نیست.

بنابراین گزارهٔ نادرست، گزینهٔ ۱ است.

تلهٔ رایج: مجموعهٔ مشتق $A'$ (نقاط حدی) را با مرز اشتباه نگیرید. نقاط منفرد $A$ به $\partial A$ تعلق دارند اما به $A'$ نه، پس $A\cap A'$ می‌تواند بخشی از $\partial A$ را به‌طور اکید از دست بدهد.