سوال ۶۷ کنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۳

هر گزینه را بررسی می‌کنیم. در سراسر حل، مرز/درون/بستار نسبت به فضای دربرگیرنده در نظر گرفته می‌شوند (و برای گزینهٔ ۴، نسبت به $A$ به‌عنوان یک زیرفضا — که خوانش استاندارد است).

گزینهٔ ۴ درست است — این همان مشخصه‌سازی همبندی بر حسب مرز است.

فرض کنید $A$ همبند باشد و $B \subseteq A$ با $\varnothing \ne B \ne A$. مرز $B$ در $A$ برابر است با $\partial_A B = \operatorname{cl}_A(B) \setminus \operatorname{int}_A(B).$ اگر $\partial_A B = \varnothing$ باشد، آنگاه $\operatorname{cl}_A(B) = \operatorname{int}_A(B) = B$، یعنی $B$ هم‌زمان بسته و باز (بازوبسته) در $A$ است. اما یک فضای همبند تنها $\varnothing$ و کل فضا را به‌عنوان زیرمجموعه‌های بازوبسته دارد. چون $B$ سره و ناتهی است، این ناممکن است. پس $\partial_A B \ne \varnothing$. این هم‌ارزی («$A$ همبند است $\iff$ هر زیرمجموعهٔ سرهٔ ناتهی مرز ناتهی دارد») یک خاصیت تعریف‌کنندهٔ همبندی است.

گزینهٔ ۱ نادرست است. بگیرید $X = \mathbb{R}$ و $A = \mathbb{Q}$. آنگاه $\operatorname{int}(\mathbb{Q}) = \varnothing$ (همبند) و $\partial \mathbb{Q} = \operatorname{cl}(\mathbb{Q}) \cap \operatorname{cl}(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}) = \mathbb{R}$ (همبند)، با این حال $\mathbb{Q}$ کاملاً ناهمبند است — همبند نیست.

گزینهٔ ۲ نادرست است. فرض کنید $A = \{z \in \mathbb{R}^2 : 1 \le |z| \le 2\}$ یک حلقهٔ بسته باشد. هر دوی $A$ و $\operatorname{int}(A) = \{1 < |z| < 2\}$ همبند هستند، اما $\partial A$ اجتماع دو دایرهٔ $|z|=1$ و $|z|=2$ است که ناهمبند است.

گزینهٔ ۳ نادرست است. فرض کنید $A$ اجتماع دو قرص بسته به شعاع $1$ با مرکزهای $(\pm 1,0)$ باشد که در مبدأ بر هم مماس‌اند. آنگاه $A$ همبند است و $\partial A$ یک شکل هشت است (دو دایره که در مبدأ به هم می‌رسند) که همبند است — با این حال $\operatorname{int}(A)$ دو قرص باز مجزا است که ناهمبند است.

بنابراین تنها گزارهٔ به‌طور کلی معتبر گزینهٔ ۴ است.

نکتهٔ کنکوری: «هر زیرمجموعهٔ سرهٔ ناتهی مرز ناتهی دارد» تنها بیانی پنهان از این است که «هیچ مجموعهٔ بازوبستهٔ سرهٔ ناتهی وجود ندارد»، که خودِ تعریف همبندی است. سه گزینهٔ دیگر با شکل‌های استاندارد باطل می‌شوند: اعداد گویا، حلقه، و شکل هشتِ حاصل از قرص‌های مماس.