سوال ۶۸ کنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۳

شیء کلیدی، تابع فاصله تا یک مجموعه یعنی $f(x) = d(x, A) = \inf_{a \in A} d(x, a)$ است. این تابع $1$-لیپشیتز و در نتیجه پیوسته است: برای هر $x, x' \in X$، $|d(x, A) - d(x', A)| \le d(x, x').$ هر گزینه را روی یک فضای متریک فشرده $X$ می‌آزماییم.

گزینهٔ ۱ — درست. مجموعهٔ $\{x \in X : d(x, A) \ge 1\} = f^{-1}\big([1, \infty)\big)$ تصویر وارون یک مجموعهٔ بسته تحت نگاشت پیوستهٔ $f$ است، پس در $X$ بسته است. زیرمجموعهٔ بستهٔ یک فضای فشرده، فشرده است.

گزینهٔ ۲ — درست. یک تابع حقیقی پیوسته روی فضای فشرده کران‌دار است، پس $\sup_{x} d(x, A) = M < \infty$ و $d(x, A) \le M$ برای هر $x$ (که به‌محض $A \ne X$ داریم $M > 0$؛ حتی اگر $A = X$ باشد می‌توان هر $M>0$ را اختیار کرد).

گزینهٔ ۴ — درست. بنا بر قضیهٔ مقدار اکسترمم، تابع پیوستهٔ $f$ روی فضای فشردهٔ $X$ به بیشینهٔ خود می‌رسد: عنصری $y \in X$ وجود دارد که برای هر $x$ داریم $d(x, A) \le d(y, A)$.

گزینهٔ ۳ — نادرست. این گزینه ادعا می‌کند $f$ به کمینهٔ خود روی $X \setminus A$ می‌رسد. اما $X \setminus A$ لزوماً فشرده نیست (وقتی $A$ بسته باشد این مجموعه باز است، و عموماً بسته نیست)، پس قضیهٔ مقدار اکسترمم اعمال‌پذیر نیست و لازم نیست اینفیمم حاصل شود. یک مثال نقض مشخص: $X = [0,1], \quad A = \{0\}, \quad X \setminus A = (0,1].$ در اینجا $d(x, A) = x$، پس $\inf_{x \in (0,1]} d(x, A) = 0$ توسط هیچ $x \in (0,1]$ حاصل نمی‌شود (رسیدن به این اینفیمم مستلزم $x = 0 \in A$ است). بنابراین هیچ عنصر کمینه‌سازی در $X \setminus A$ وجود ندارد و گزارهٔ ۳ برقرار نیست.

بنابراین گزارهٔ نادرست گزینهٔ ۳ است.

نکتهٔ کنکوری: تابع $d(\cdot, A)$ همواره $1$-لیپشیتز است، پس روی یک دامنهٔ فشرده کران‌دار است و به بیشینه و کمینهٔ خود می‌رسد. تله اینجاست که $X \setminus A$ عموماً فشرده نیست — کمینه روی یک مجموعهٔ نافشرده می‌تواند به یک اینفیمم حاصل‌نشده بگریزد (در اینجا $0$، که در $X\setminus A$ نزدیک می‌شود اما هرگز حاصل نمی‌گردد).