سوال ۶۳ کنکور ارشد فیزیک ۱۴۰۵

این یک مسئلهٔ کار–انرژی یک‌بعدی با نیروی وابسته به مکان است. کار خالص انجام‌شده توسط $F(x)$ بین $x=0$ و $x=L$ باعث تغییر انرژی جنبشی می‌شود.

داده‌های مسئله

• جرم: $m = 250\ \text{g} = 0.25\ \text{kg}$
• نیرو: $F(x) = (0.25\ \text{N})\,\sin(0.5\,x)$، که در آن $x$ برحسب متر است
• تندی اولیه در $x=0$: $v_0 = 1.50\ \text{m/s}$
• مکان نهایی: $L = 3.14\ \text{m} \approx \pi\ \text{m}$

کار انجام‌شده توسط نیرو

با استفاده از $\int \sin(0.5\,x)\,dx = -\dfrac{\cos(0.5\,x)}{0.5} = -2\cos(0.5\,x)$،

در $L = 3.14\ \text{m}$، داریم $\;0.5\,L = 1.57 \approx \dfrac{\pi}{2}$، بنابراین $\cos(0.5\,L) \approx \cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right) = 0$:

قضیهٔ کار–انرژی

انرژی جنبشی اولیه:

بنابراین

تندی در $x = 3.14\ \text{m}$ برابر $\boxed{2.50\ \text{m/s}}$ است، که گزینهٔ ۳ می‌باشد.

نکتهٔ کنکوری: نقطهٔ انتهایی $x = 3.14 \approx \pi$ باعث می‌شود آرگومان $0.5x = \pi/2$ شود، پس $\cos(0.5x)=0$ و انتگرال کار به $W = 0.5\ \text{J}$ فرو می‌کاهد. پیش از درگیر شدن با محاسبات مثلثاتی، $\pi/2$ را تشخیص دهید.