سوال ۶۲ کنکور ارشد فیزیک ۱۴۰۵

شتاب داده‌شده همان شتاب مرکزگرا (سو به سمت مرکز) است که برای حرکت دایره‌ای به شعاع $R$ توسط سرعت لحظه‌ای تعیین می‌شود:

$a_c = \frac{v^2}{R}.$

با برابر قرار دادن این عبارت با مقدار وابسته به زمانِ داده‌شده $a_c = kt^2$:

$\frac{v^2}{R} = kt^2 \quad\Rightarrow\quad v^2 = Rk\,t^2 \quad\Rightarrow\quad v = \sqrt{Rk}\;t.$

پس سرعت به‌صورت خطی با زمان رشد می‌کند؛ یک خط راست که از مبدأ می‌گذرد. با جای‌گذاری $R = 2\ \mathrm{m}$ و $k = 4\ \mathrm{m/s^4}$:

$v = \sqrt{(2)(4)}\;t = \sqrt{8}\;t = 2\sqrt{2}\;t \quad (\mathrm{m/s}).$

شیب برابر $2\sqrt{2}\ \mathrm{m/s^2}$ است، پس در $t = 1\ \mathrm{s}$ سرعت برابر $v = 2\sqrt{2}\ \mathrm{m/s} \approx 2.83\ \mathrm{m/s}$ می‌شود.

این دقیقاً همان گزینهٔ ۱ است: خطی از مبدأ که در $t = 1$ ثانیه از $v = 2\sqrt{2}$ می‌گذرد.

تلهٔ رایج: عدد داده‌شده شتاب شعاعی است، نه مماسی. عبارت $kt^2$ را با $\dfrac{dv}{dt}$ برابر نگیرید (این کار به یک $v(t)$ سهمی‌شکل منجر می‌شود). برای به‌دست آوردن $v$ از رابطهٔ $a_c = v^2/R$ استفاده کنید که خطی از آب درمی‌آید. همچنین توجه کنید که $\sqrt{Rk} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ است، نه $2$ — مقدار $2$ در گزینهٔ ۲ به‌اشتباه فرض می‌کند $\sqrt{Rk} = 2$.