سوال ۲۶ کنکور ارشد فیزیک ۱۴۰۵

نوشتن معادلهٔ مسیر

برای پرتابه‌ای که از مبدأ با زاویهٔ $\theta$ و تندی $v$ پرتاب می‌شود، مسیر را می‌توان به‌صورت فشرده برحسب برد افقی $R$ (جایی که دوباره $y=0$ می‌شود) نوشت. از آنجا که مسیر یک سهمی با ریشه‌های $x=0$ و $x=R$ است:

$y = x\tan\theta\left(1 - \frac{x}{R}\right)$

این رابطه از $y = x\tan\theta - \dfrac{g\,x^{2}}{2v^{2}\cos^{2}\theta}$ همراه با $R = \dfrac{v^{2}\sin 2\theta}{g} = \dfrac{2v^{2}\cos^{2}\theta \tan\theta}{g}$ به‌دست می‌آید، به‌طوری‌که ضریب $x^{2}$ برابر $\dfrac{\tan\theta}{R}$ می‌شود.

فرض کنید $m \equiv \tan\theta$ و $S \equiv a+b$.

اعمال دو نقطه

منحنی از $(a,b)$ و $(b,a)$ می‌گذرد:

$b = a\,m\left(1 - \frac{a}{R}\right), \qquad a = b\,m\left(1 - \frac{b}{R}\right)$

تفریق دو معادله:

$b - a = m(a-b) - \frac{m}{R}(a^{2}-b^{2}) = m(a-b) - \frac{m}{R}(a-b)(a+b)$

تقسیم بر $(a-b)$ (با $a\ne b$):

$-1 = m - \frac{m}{R}(a+b) \;\Rightarrow\; \frac{m}{R} = \frac{m+1}{S} \quad (\text{A})$

جمع دو معادله:

$a+b = m(a+b) - \frac{m}{R}(a^{2}+b^{2}) \;\Rightarrow\; \frac{m}{R} = \frac{(m-1)S}{a^{2}+b^{2}} \quad (\text{B})$

حل برای زاویه

تساوی (A) و (B):

$\frac{m+1}{S} = \frac{(m-1)S}{a^{2}+b^{2}} \;\Rightarrow\; (m+1)(a^{2}+b^{2}) = (m-1)S^{2}$

با استفاده از $S^{2} = a^{2}+2ab+b^{2}$، پس $S^{2}-(a^{2}+b^{2}) = 2ab$:

$m\big[(a^{2}+b^{2}) - S^{2}\big] = -\big(S^{2}+a^{2}+b^{2}\big) \;\Rightarrow\; -2ab\,m = -\,2\big(a^{2}+ab+b^{2}\big)$

$\boxed{\,\tan\theta = m = \frac{a^{2}+ab+b^{2}}{ab}\,}$

حل برای برد

از (A)، $R = \dfrac{mS}{m+1}$. محاسبه می‌کنیم

$m+1 = \frac{a^{2}+ab+b^{2}}{ab} + 1 = \frac{a^{2}+2ab+b^{2}}{ab} = \frac{(a+b)^{2}}{ab} = \frac{S^{2}}{ab}.$

بنابراین

$R = \frac{mS}{m+1} = \frac{\dfrac{a^{2}+ab+b^{2}}{ab}\,S}{\dfrac{S^{2}}{ab}} = \frac{(a^{2}+ab+b^{2})\,S}{S^{2}} = \frac{a^{2}+ab+b^{2}}{a+b}.$

این گزینهٔ ۴ است.

نکتهٔ کنکوری: سهمی را به‌صورت تجزیه‌شدهٔ $y = x\tan\theta\,(1 - x/R)$ بنویسید تا $R$ به‌طور صریح ظاهر شود. آنگاه جمع و تفریق دو شرط متقارن $(a,b)$ و $(b,a)$، $\tan\theta$ را از $R$ در دو رابطهٔ خطی تمیز جدا می‌کند — بسیار سریع‌تر از حمل کردن $v$ و $g$ در سرتاسر محاسبات جبری.