KonkurStudy
همه کارت‌ها
مفهومفیزیک پایهقوانین نیوتون و دینامیک

سینماتیک، دینامیک نیوتنی و مرکز جرم

سینماتیک برداری، نیروها و حرکت مقید، به‌همراه مرکز جرم وزن‌دار سامانه‌های گسسته و پیوسته و روش تفریق برای ورقه‌های مرکب.

کارت مفهوم کنکور ارشد فیزیک

اهمیت
۰/۵

۱. ایدهٔ اصلی

سینماتیک توصیف می‌کند که اجسام چگونه حرکت می‌کنند — مکان، سرعت، شتاب — بدون آنکه به چرایی آن بپردازد. دینامیک نیوتنی پاسخ چرایی را می‌دهد: نیروها از طریق قانون دوم نیوتن سبب شتاب می‌شوند. این دو با هم ستون فقرات مکانیک را می‌سازند: با داشتن نیروهای وارد بر یک جسم، کل مسیر حرکت آن را پیش‌بینی می‌کنی، و با داشتن یک مسیر اندازه‌گیری‌شده، نیروها را استنتاج می‌کنی.

موجودیت‌های بنیادی عبارت‌اند از بردار مکان r⃗(t)\vec{r}(t)، سرعت v⃗=dr⃗dt\vec{v}=\dfrac{d\vec{r}}{dt} و شتاب a⃗=dv⃗dt=d2r⃗dt2\vec{a}=\dfrac{d\vec{v}}{dt}=\dfrac{d^{2}\vec{r}}{dt^{2}}. برای جسمی با جرم ثابت در چارچوب لخت، دینامیک از رابطهٔ زیر پیروی می‌کند

F⃗net=m a⃗.\vec{F}_{\text{net}}=m\,\vec{a}.

چون این معادله برداری است، هر مؤلفهٔ دکارتی از Fx=maxF_x=ma_x، Fy=mayF_y=ma_y، Fz=mazF_z=ma_z پیروی می‌کند. مؤلفه‌ها هنگامی از هم جدا می‌شوند که مؤلفه‌های نیرو حرکت‌های متناظر را به هم وابسته نکنند، مانند حرکت پرتابی ایدئال. مرکز جرم، مکان متناظر و معادلهٔ حرکت انتقالی کل سامانهٔ اجسام را مشخص می‌کند.

۲. قوانین و روابط کلیدی

سه قانون نیوتن.

  1. لختی (اینرسی): جسم سرعت ثابت v⃗\vec{v} خود را حفظ می‌کند مگر آنکه نیروی خالصی بر آن وارد شود.
  2. قانون دوم: F⃗net=ma⃗=dp⃗dt\vec{F}_{\text{net}}=m\vec{a}=\dfrac{d\vec{p}}{dt}، که در آن تکانه (اندازهٔ حرکت) p⃗=mv⃗\vec{p}=m\vec{v} است.
  3. کنش–واکنش: F⃗A→B=−F⃗B→A\vec{F}_{A\to B}=-\vec{F}_{B\to A}.

سینماتیک با شتاب ثابت (هر گاه a⃗\vec{a} ثابت باشد معتبر است، مثلاً گرانش یکنواخت):

v⃗=v⃗0+a⃗ t,r⃗=r⃗0+v⃗0t+12a⃗ t2,v2=v02+2 a⃗⋅Δr⃗.\vec{v}=\vec{v}_0+\vec{a}\,t,\qquad \vec{r}=\vec{r}_0+\vec{v}_0 t+\tfrac{1}{2}\vec{a}\,t^{2},\qquad v^{2}=v_0^{2}+2\,\vec{a}\cdot\Delta\vec{r}.

حرکت پرتابی (با فرض a⃗=−g y^\vec{a}=-g\,\hat{y}، سرعت پرتاب v0v_0 با زاویهٔ θ\theta). با حذف tt، مسیر سهموی زیر به دست می‌آید

y=xtan⁡θ−g x22v02cos⁡2θ=xtan⁡θ(1−xR),y=x\tan\theta-\frac{g\,x^{2}}{2v_0^{2}\cos^{2}\theta}=x\tan\theta\left(1-\frac{x}{R}\right),

با برد افقی، بیشینه ارتفاع و زمان پرواز

R=v02sin⁡2θg,H=v02sin⁡2θ2g,T=2v0sin⁡θg.R=\frac{v_0^{2}\sin 2\theta}{g},\qquad H=\frac{v_0^{2}\sin^{2}\theta}{2g},\qquad T=\frac{2v_0\sin\theta}{g}.

حرکت دایره‌ای. برای سرعت vv روی دایره‌ای به شعاع rr، شتاب یک بخش مرکزگرا (شعاعی) دارد و در صورت تغییر سرعت، یک بخش مماسی نیز:

ac=v2r=ω2r  (toward center),at=dvdt=αr.a_{\text{c}}=\frac{v^{2}}{r}=\omega^{2}r\ \ (\text{toward center}),\qquad a_{\text{t}}=\frac{dv}{dt}=\alpha r.

اصطکاک. اصطکاک ایستا تا یک سقف تنظیم می‌شود؛ اصطکاک جنبشی ثابت است:

fs≤μsN,fk=μkN.f_s\le\mu_s N,\qquad f_k=\mu_k N.

برای جسمی که تنها تحت گرانش و نیروهای تماس روی سطحی با زاویهٔ شیب θ\theta ساکن است، تعادل ایستا مستلزم tan⁡θ≤μs\tan\theta\le\mu_s است و در آستانهٔ لغزش برابری برقرار می‌شود؛ زاویهٔ اصطکاک (زاویهٔ سکون) برابر θmax⁡=arctan⁡μs\theta_{\max}=\arctan\mu_s است، و cos⁡(arctan⁡μ)=11+μ2\cos(\arctan\mu)=\dfrac{1}{\sqrt{1+\mu^{2}}}.

تعادل روی سطح شیب‌دار با تکیه‌گاه مایل

برای سطح شیب‌دار بدون اصطکاک با زاویهٔ θ\theta، فرض کنید نخ کشیده‌ای با زاویهٔ β\beta بالاتر از سطح، جسم را به سمت بالای شیب می‌کشد. نیروها را در راستای سطح و عمود بر آن به سمت بیرون تصویر کنید:

Tcos⁡β=mgsin⁡θ,N+Tsin⁡β=mgcos⁡θ.T\cos\beta=mg\sin\theta,\qquad N+T\sin\beta=mg\cos\theta.

بنابراین

T=mgsin⁡θcos⁡β,N=mg(cos⁡θ−sin⁡θtan⁡β).T=\frac{mg\sin\theta}{\cos\beta},\qquad N=mg\left(\cos\theta-\sin\theta\tan\beta\right).

این معادلات با فرض cos⁡β>0\cos\beta>0 و برقراری تماس N≥0N\ge0 نوشته شده‌اند. اگر نیروی عمودی منفی به دست آید، جسم تماس را از دست می‌دهد و این مدل تعادل معتبر نیست. با وجود اصطکاک، نیروی مماسی علامت‌دار را وارد کنید و ∣fs∣≤μsN\lvert f_s\rvert\le\mu_sN را بیازمایید؛ تنها در آستانهٔ لغزش اصطکاک را برابر بیشینهٔ آن قرار دهید.

مرکز جرم: جمع، انتگرال و اجسام مرکب

مرکز جرم، مکان وزن‌دار با جرم است، نه میانگین سادهٔ مختصات. برای ذرات یا قطعاتی که مرکز جرم هر یک معلوم است، و برای جسم پیوسته داریم:

R⃗CM=∑iMiR⃗i∑iMi,M=∑iMi,\vec R_{\mathrm{CM}}=\frac{\sum_i M_i\vec R_i}{\sum_i M_i},\qquad M=\sum_i M_i, R⃗CM=1M∫r⃗ dm,M=∫dm.\vec R_{\mathrm{CM}}=\frac{1}{M}\int\vec r\,dm,\qquad M=\int dm.

هر R⃗i\vec R_i باید مرکز جرم کل قطعهٔ متناظر باشد. برای سیم از dm=λ dℓdm=\lambda\,d\ell، برای ورقه از dm=σ dAdm=\sigma\,dA و برای جسم حجمی از dm=ρ dVdm=\rho\,dV استفاده کنید؛ چگالی می‌تواند تابع مکان باشد. چگالی سطحی ثابت و مشترک حذف می‌شود، پس مرکز جرم ورقهٔ مرکب با مساحت وزن‌دهی می‌شود:

R⃗CM=∑iAiR⃗i∑iAi.\vec R_{\mathrm{CM}}=\frac{\sum_i A_i\vec R_i}{\sum_i A_i}.

چگالی حجمی ثابت نیز وزن‌دهی با حجم را می‌دهد؛ برای چگالی‌های متفاوت باید از Mi=σiAiM_i=\sigma_iA_i یا Mi=ρiViM_i=\rho_iV_i استفاده کرد. تقارن بازتابی هم شکل و هم توزیع جرم، مرکز جرم را روی صفحه یا محور تقارن قرار می‌دهد. دو محور تقارن عمود بر هم، مرکز مستطیل یکنواخت را در محل تقاطع خود مشخص می‌کنند؛ مرکز هندسی مثلث یکنواخت، میانگین مکان سه رأس آن است. اگر چگالی تقارن را بشکند، تقارن شکل به‌تنهایی کافی نیست.

حفره ابزاری محاسباتی با جرم منفی و گشتاور اول منفی است. اگر جسم کامل جرم M0M_0 و مرکز R⃗0\vec R_0 داشته باشد و قطعات حذف‌شده جرم‌های مثبت mhm_h و مراکز r⃗h\vec r_h داشته باشند، آنگاه

Mrem=M0−∑hmh>0,R⃗CM=M0R⃗0−∑hmhr⃗hM0−∑hmh.M_{\mathrm{rem}}=M_0-\sum_h m_h>0,\qquad \vec R_{\mathrm{CM}}=\frac{M_0\vec R_0-\sum_h m_h\vec r_h}{M_0-\sum_h m_h}.

تفریق را هم در صورت و هم در مخرج انجام دهید. برای ورقهٔ یکنواخت می‌توان همهٔ جرم‌ها را با مساحت‌ها جایگزین کرد، به شرط آنکه مادهٔ حذف‌شده همان چگالی سطحی را داشته باشد. حفره‌های جدا از هم را می‌توان مستقل تفریق کرد؛ برای حفره‌های هم‌پوشان ابتدا ناحیه‌ها را بخش‌بندی کنید یا از اصل شمول و عدم شمول بهره بگیرید تا ناحیهٔ مشترک دوبار کم نشود.

برای سامانهٔ بسته با جرم کل ثابت و نیروهای کنش–واکنش داخلی که یکدیگر را خنثی می‌کنند، معادلهٔ انتقالی چنین است:

MR⃗¨CM=F⃗ext.M\ddot{\vec R}_{\mathrm{CM}}=\vec F_{\mathrm{ext}}.

نیروی خارجی صفر به معنای حرکت یکنواخت مرکز جرم است، حتی اگر اجزا نسبت به هم حرکت کنند. در میدان گرانشی یکنواخت، مرکز ثقل با مرکز جرم منطبق است.

۳. روش — از تصویر تا معادلات

  1. سیستم را انتخاب کن و یک چارچوب لخت برگزین؛ محورهایی انتخاب کن که جبر مسئله را ساده کنند (در راستای/عمود بر سطح برای سطوح شیب‌دار، شعاعی/مماسی برای دایره‌ها).
  2. نمودار جسم آزاد را رسم کن: هر نیروی تماسی و میدانی واقعی — وزن mg⃗m\vec g، عمودی N⃗\vec N، اصطکاک f⃗\vec f، کشش T⃗\vec T، نیروی وارده F⃗\vec F. در چارچوب لخت نیروهای موهومی اضافه نکن.
  3. تصویر کن F⃗net=ma⃗\vec F_{\text{net}}=m\vec a را روی هر محور. برای تعادل قرار بده a⃗=0\vec a=0؛ برای حرکت دایره‌ای مؤلفهٔ شعاعی را برابر mv2/rm v^{2}/r قرار بده.
  4. قیدها را بیفزا (کشش‌ناپذیری طناب، شرایط تماس N≥0N\ge 0، شرط عدم لغزش fs≤μsNf_s\le\mu_s N، غلتش v=ωrv=\omega r) تا دستگاه بسته شود.
  5. دستگاه معادلات را حل کن، سپس حدها و یکاها را بررسی کن.

برای یک مسیر داده‌شده برعکس عمل کن، یعنی مشتق بگیر: a⃗\vec a را از حرکت بخوان (مثلاً شیب نمودار vv–tt) و در mm ضرب کن تا نیرو را بازیابی کنی.

روش مرکز جرم:

  1. برای همهٔ قطعات یک مبدأ و دستگاه مختصات مشترک تعیین کنید. پیش از محاسبه از تقارن‌های باقی‌مانده استفاده کنید.
  2. جسم واقعی را به قطعات ساده بخش‌بندی کنید، یا از جسم کامل ساده شروع کنید و حفره‌ها را کم کنید. جرم یا مساحت، وزن علامت‌دار و مختصات مرکز هر قطعه را ثبت کنید.
  3. هندسه را دقیق بخوانید: قطر چندضلعی دو رأس غیرمجاور را به هم وصل می‌کند، ولی ضلع دو رأس مجاور را وصل می‌کند. برای مربع با ضلع ss و قطر dd داریم d=s2d=s\sqrt2 و A=s2=d2/2A=s^2=d^2/2؛ برای مستطیل، d2=a2+b2d^2=a^2+b^2. چرخاندن مربع نه مساحت آن را تغییر می‌دهد و نه محل مرکز هندسی آن در تقاطع قطرها را.
  4. گشتاورهای اول علامت‌دار را جمع کنید و بر جرم یا مساحت کل باقی‌مانده تقسیم کنید. اگر تجزیهٔ ساده‌ای وجود ندارد، انتگرال‌های وزن‌دار با چگالی را محاسبه کنید.
  5. ابعاد، تقارن و جهت را بررسی کنید: حفرهٔ خارج از مرکز، مرکز جرم را از مادهٔ حذف‌شده دور می‌کند؛ با صفر شدن اندازهٔ حفره باید مرکز اولیه بازیابی شود.

۴. مثال کوچک حل‌شده

یک دیسک به جرم mm روی کف بدون اصطکاک می‌لغزد. مؤلفه‌های سرعت اندازه‌گیری‌شدهٔ آن vx(t)=u+btv_x(t)=u+bt و vy(t)=w−ctv_y(t)=w-ct با ثابت‌های b,c>0b,c>0 هستند. بزرگی و جهت نیروی خالص را بیاب.

از هر مؤلفه مشتق بگیر:

ax=dvxdt=b,ay=dvydt=−c.a_x=\frac{dv_x}{dt}=b,\qquad a_y=\frac{dv_y}{dt}=-c.

هر دو ثابت‌اند، پس نیرو ثابت است. از آنجا که x^⊥y^\hat x\perp\hat y،

∣F⃗∣=max2+ay2=mb2+c2,|\vec F|=m\sqrt{a_x^{2}+a_y^{2}}=m\sqrt{b^{2}+c^{2}},

که در زاویهٔ φ=arctan⁡ ⁣ayax=arctan⁡ ⁣−cb\varphi=\arctan\!\dfrac{a_y}{a_x}=\arctan\!\dfrac{-c}{b} زیر محور xx جهت‌گیری شده است. توجه کن که سرعت‌های اولیهٔ u,wu,w هرگز وارد نمی‌شوند — فقط شیب‌ها اهمیت دارند، زیرا نیرو به شتاب وابسته است، نه به سرعت.

نخ مایل روی سطح شیب‌دار

یک تعادل ابداعی با θ=π/4\theta=\pi/4 و β=π/12\beta=\pi/12 انتخاب کنید. چون tan⁡(π/12)=2−3\tan(\pi/12)=2-\sqrt3،

Nmg=1−tan⁡(π/12)2=3−12>0.\frac{N}{mg}=\frac{1-\tan(\pi/12)}{\sqrt2}=\frac{\sqrt3-1}{\sqrt2}>0.

نخ بخشی از بار را بلند می‌کند، پس N<mgcos⁡θN<mg\cos\theta و برقراری تماس ممکن است.

جرم‌های گسسته

دو مهرهٔ کوچک با جرم‌های mm و 3m3m در مکان‌های x=−Lx=-L و x=Lx=L قرار دارند. مرکز جرم آن‌ها برابر است با

xCM=m(−L)+3mL4m=L2.x_{\mathrm{CM}}=\frac{m(-L)+3mL}{4m}=\frac{L}{2}.

مرکز جرم میان دو مهره و نزدیک‌تر به مهرهٔ سنگین‌تر قرار دارد. استفاده از نقطهٔ میانی هندسی به‌اشتباه جرم‌ها را برابر فرض می‌کند.

میلهٔ پیوستهٔ ناهمگن

برای میله‌ای در بازهٔ 0≤x≤L0\le x\le L با λ(x)=λ0(1+x/L)\lambda(x)=\lambda_0(1+x/L)، جرم و گشتاور اول آن را جداگانه انتگرال بگیرید:

M=∫0Lλ0(1+x/L) dx=32λ0L,∫0Lxλ(x) dx=56λ0L2.M=\int_0^L\lambda_0(1+x/L)\,dx=\frac32\lambda_0L, \qquad \int_0^L x\lambda(x)\,dx=\frac56\lambda_0L^2. xCM=5λ0L2/63λ0L/2=5L9.x_{\mathrm{CM}}=\frac{5\lambda_0L^2/6}{3\lambda_0L/2}=\frac{5L}{9}.

این مقدار از نقطهٔ میانی هندسی بزرگ‌تر است، چون چگالی به سمت راست افزایش می‌یابد؛ مرکز جرم همچنان داخل میله است.

ورقهٔ یکنواخت با حفره در حالت کلی

مستطیل یکنواختی به عرض bb و ارتفاع hh در مبدأ مرکز دارد. حفره‌ای دایره‌ای به شعاع rr و مرکز (a,0)(a,0) را که کاملاً داخل مستطیل است، حذف کنید. مساحت و گشتاورهای اول باقی‌مانده می‌دهند

xCM=−πr2abh−πr2,yCM=0.x_{\mathrm{CM}}=-\frac{\pi r^2a}{bh-\pi r^2},\qquad y_{\mathrm{CM}}=0.

برای صفحه‌ای ابداعی با b=8ℓb=8\ell، h=6ℓh=6\ell، r=ℓr=\ell و a=2ℓa=2\ell،

xCM=−2π48−πℓ≈−0.140ℓ.x_{\mathrm{CM}}=-\frac{2\pi}{48-\pi}\ell\approx-0.140\ell.

جابجایی خلاف جهت حفره است، مخرج مساحت باقی‌مانده را نشان می‌دهد و حد r→0r\to0 نتیجهٔ xCM→0x_{\mathrm{CM}}\to0 را بازیابی می‌کند. همین روش برای حفرهٔ چندضلعی نیز کاربرد دارد: ابتدا مرکز هندسی و مساحت آن را بیابید؛ برای مربعی با قطر معلوم dd، مساحت حذف‌شده d2/2d^2/2 است و هرگز d2d^2 نیست.

توزیع وزن در فرمول مرکز هندسی بررسی ضروری
ذرات گسسته جرم‌های واقعی MiM_i وزن مختصات تنها برای جرم‌های برابر یکسان است
ورقهٔ یکنواخت از یک ماده مساحت‌های AiA_i چگالی سطحی مشترک باید حذف شود
سیم یا جسم حجمی ناهمگن dm=λ dℓdm=\lambda\,d\ell یا dm=ρ dVdm=\rho\,dV چگالی وابسته به مکان را وارد کنید
جسم دارای حفره جرم و گشتاور اول منفی قطعات حذف‌شده بر جرم باقی‌مانده تقسیم کنید

۵. حالت‌های خاص، گونه‌ها و حدها

  • نیروی متغیر F(x)F(x) یا F(v)F(v): از a=v dvdxa=v\,\dfrac{dv}{dx} استفاده کن یا متغیرها را جدا کن m dv/F(v)=dtm\,dv/F(v)=dt تا حرکت را انتگرال‌گیری کنی (مثلاً پسا (درگ)، فنرهای وابسته به مکان).
  • میان‌بر کار–انرژی: انتگرال‌گیری F⃗⋅dr⃗\vec F\cdot d\vec r می‌دهد Wnet=Δ ⁣(12mv2)W_{\text{net}}=\Delta\!\left(\tfrac12 m v^{2}\right) — اغلب وقتی زمان خواسته نشده سریع‌تر از حل معادلهٔ دیفرانسیل کامل است.
  • سطوح خمیده: برای جسمی که ابتدا تنها تحت گرانش و تماس ساکن است، تعادل ایستای موضعی با زاویهٔ شیب θ\theta از طریق tan⁡θ≤μs\tan\theta\le\mu_s تعیین می‌شود؛ هندسه، θ\theta را به مکان یا ارتفاع تبدیل می‌کند، مثلاً h=Rcos⁡θh=R\cos\theta با اندازه‌گیری ارتفاع از مرکز استوانه. هنگام حرکت، شتاب شعاعی را در محاسبهٔ نیروی عمودی وارد کنید.
  • چارچوب‌های نالخت: شبه‌نیروی انتقالی −ma⃗frame-m\vec a_{\text{frame}}، نیروی گریز از مرکز −mω⃗×(ω⃗×r⃗)=mω2r⃗⊥-m\vec\omega\times(\vec\omega\times\vec r)=m\omega^2\vec r_{\perp} و نیروی کوریولیس −2m ω⃗×v⃗-2m\,\vec\omega\times\vec v را اضافه کنید. در اینجا v⃗\vec v در چارچوب چرخان اندازه‌گیری می‌شود و r⃗⊥\vec r_{\perp} بر محور دوران عمود است؛ رابطهٔ mω2r⃗m\omega^{2}\vec r هنگامی معتبر است که خود r⃗\vec r عمود بر محور باشد. تغییر سرعت زاویه‌ای به نیروی اویلر −mω⃗˙×r⃗-m\dot{\vec\omega}\times\vec r نیز نیاز دارد.
  • حرکت دایره‌ای قائم / کمینه سرعت: برای حرکت داخل حلقهٔ قائم تحت گرانش، نیروی عمودی رو به مرکز می‌تواند در بالاترین نقطه صفر شود و کمینهٔ سرعت در بالا برابر vmin⁡=grv_{\min}=\sqrt{gr} است. شرط متناظر برای جسم متصل به نخ، کشش صفر است؛ این شرط برای هر نوع قید دایره‌ای عمومی نیست.

۶. نکتهٔ کنکوری

نکتهٔ کنکوری: قانون نیوتن برداری است، پس در راستای هوشمندانه‌ترین محورها تجزیه کن و راستاهای عمود را مستقل از هم در نظر بگیر — یک پرتابه صرفاً حرکت یکنواخت در راستای xx است که با سقوط آزاد در راستای yy ترکیب شده، و یک نیروی دوبعدی برابر max2+ay2m\sqrt{a_x^{2}+a_y^{2}} است. به یاد داشته باش که نیرو به شتاب جفت می‌شود، نه به سرعت: جسمی می‌تواند با نیروی خالص صفر تند در حال حرکت باشد، یا لحظه‌ای در حال سکون ولی به‌شدت شتاب‌دار باشد. خواندن شیب نمودار vv–tt (نه مقدار آن) سریع‌ترین راه رسیدن به نیرو است.

تلهٔ رایج: در محاسبهٔ مرکز جرم، جرم حفره و گشتاور اول آن را با هم کم کنید و بر مقدار باقی‌مانده تقسیم کنید. قطر مربع با ضلع آن برابر نیست؛ در دینامیک، کشش مایل نیروی عمودی را تغییر می‌دهد و اصطکاک ایستا لزوماً در مقدار حدی خود نیست.

فرمول‌های کلیدی

Newton's second law (vector)
F⃗net=ma⃗=dp⃗dt\vec{F}_{\text{net}}=m\vec{a}=\frac{d\vec{p}}{dt}
Constant-acceleration kinematics
r⃗=r⃗0+v⃗0t+12a⃗ t2,v2=v02+2 a⃗⋅Δr⃗\vec{r}=\vec{r}_0+\vec{v}_0 t+\tfrac{1}{2}\vec{a}\,t^{2},\qquad v^{2}=v_0^{2}+2\,\vec{a}\cdot\Delta\vec{r}
Projectile trajectory (range form)
y=xtan⁡θ(1−xR),R=v02sin⁡2θgy=x\tan\theta\left(1-\frac{x}{R}\right),\qquad R=\frac{v_0^{2}\sin 2\theta}{g}
Centripetal acceleration
ac=v2r=ω2ra_{\text{c}}=\frac{v^{2}}{r}=\omega^{2}r
Friction laws
fs≤μsN,fk=μkN,tan⁡θmax⁡=μsf_s\le\mu_s N,\qquad f_k=\mu_k N,\qquad \tan\theta_{\max}=\mu_s
Friction-angle identity
cos⁡(arctan⁡μ)=11+μ2\cos(\arctan\mu)=\frac{1}{\sqrt{1+\mu^{2}}}
Oblique support on a frictionless incline
T=mgsin⁡θcos⁡β,N=mg(cos⁡θ−sin⁡θtan⁡β)T=\frac{mg\sin\theta}{\cos\beta},\qquad N=mg(\cos\theta-\sin\theta\tan\beta)
Discrete and continuous center of mass
R⃗CM=∑iMiR⃗i∑iMi=1M∫r⃗ dm\vec R_{\mathrm{CM}}=\frac{\sum_i M_i\vec R_i}{\sum_i M_i}=\frac{1}{M}\int\vec r\,dm
Remaining body after removal of holes
R⃗CM=M0R⃗0−∑hmhr⃗hM0−∑hmh\vec R_{\mathrm{CM}}=\frac{M_0\vec R_0-\sum_hm_h\vec r_h}{M_0-\sum_hm_h}
Center-of-mass equation of motion
MR⃗¨CM=F⃗extM\ddot{\vec R}_{\mathrm{CM}}=\vec F_{\mathrm{ext}}
Square area from side or diagonal
A=s2=d22,d=s2A=s^2=\frac{d^2}{2},\qquad d=s\sqrt2
#newton-second-law#free-body-diagram#center-of-mass#composite-lamina#negative-mass-method#friction#kinematics

کارت‌های مرتبط

مفهومفیزیک پایه
سینماتیک: حرکت یک‌بعدی و دوبعدی، پرتابه‌ها و حرکت نسبی

جعبه‌ابزار کامل سینماتیک — مشتق‌گیری و انتگرال‌گیری از r(t) ، مسیرهای a=v dv/dx و t(x) ضمنی برای حرکت غیریکنواخت، مسیر و برد پرتابه، تجزیهٔ مماسی/عمودی همراه با شعاع انحنا، و سرعت نسبی گالیله‌ای.

kinematicsone-dimensional-motionprojectile-motionrelative-velocity
مفهومفیزیک پایه
کار-انرژی، تکانه و حرکت دورانی

با توجه به مرز دستگاه و برهم‌کنش‌های خارجی، کار–انرژی، ضربهٔ برداری یا تکانهٔ زاویه‌ای را انتخاب کنید و با بررسی تبادل انرژی، نوع برخورد را تعیین کنید.

impulse-momentumvector-momentumsuperelastic-collisionwork-energy-theorem
مفهوممکانیک کلاسیک
دینامیک جسم صلب، تانسورهای اینرسی و تقدیم دقیق فرفرهٔ سنگین

گشتاورهای جفتی با وزن جرمی، تانسورهای اینرسی، پایداری اویلری، تقدیم دقیق فرفرهٔ سنگین و کمینهٔ آهنگ چرخش اویلری، غلتش و گیراندازی در لولا با بررسی ضربه و انرژی.

inertia-tensorpairwise-distancesintermediate-axis-theoremhinged-capture

سوالات تمرینی · 8/10

فیزیک پایهسختسینماتیک (حرکت‌شناسی)کنکور ارشد فیزیک ۱۴۰۵ — سؤال ۲۶

ذره‌ای تحت زاویه‌ی θ نسبت به راستای افقی پرتاب شده است. اگر این ذره نسبت به محورهای افقی و عمودی که از نقطه پرتاب می‌گذرند، از نقاط (a , b) و (b , a) عبور کند، بُرد این پرتابه کدام است؟

فیزیک پایهآسانقوانین نیوتون و دینامیککنکور ارشد فیزیک ۱۴۰۵ — سؤال ۲۷

جعبه‌ای به جرم ۱٫۲kg تحت اثر نیروی ثابتی بر روی سطح افقی حرکت می‌کند. شکل زیر تغییرات زمانی مؤلفه‌های سرعت جعبه را (در دو راستای عمود برهم که x و y نامیده شده‌اند) نشان می‌دهد. نمودار V_x خطی راست…

فیزیک پایهمتوسطقوانین نیوتون و دینامیککنکور ارشد فیزیک ۱۴۰۵ — سؤال ۲۸

یک قطعه چوب کوچک مطابق شکل زیر، روی سطح یک نیم‌استوانه به شعاع R قرار می‌دهیم. کمترین مقدار h چقدر باشد تا قطعه چوب روی این سطح شروع به لغزیدن نکند؟ (ضریب اصطکاک ایستایی بین قطعه چوب و نیم‌استوانه…

فیزیک پایهمتوسطقوانین نیوتون و دینامیککنکور ارشد فیزیک ۱۴۰۴ — سؤال ۴۰

جرم‌های m و M = ۳m به دو انتهای ریسمان سبکی بسته شده‌اند. ریسمان از روی قرقره‌ی ثابت بدون جرم و بدون اصطکاکی عبور کرده است، به‌گونه‌ای که m و M در دوطرف قرقره آویزانند. سیستم را از حال سکون رها…

فیزیک پایهمتوسطقوانین نیوتون و دینامیککنکور ارشد فیزیک ۱۴۰۳ — سؤال ۲۹

مطابق شکل گلولهٔ آونگی که از سقف آویزان است، بر روی سطح شیب‌داری، با زاویه شیب ۳۰^∘ قرار دارد. راستای نخ آونگ، با سطح شیب‌دار نیز زاویه ۳۰^∘ می‌سازد. نیرویی که از طرف سطح شیب‌دار به گلوله وارد…

فیزیک پایهمتوسطقوانین نیوتون و دینامیککنکور ارشد فیزیک ۱۴۰۳ — سؤال ۳۰

یک قرص دایره‌ای یکنواخت به‌شعاع R داریم. مطابق شکل، بخشی از این قرص را به شکل مربع، جدا کرده‌ایم. در این حالت مرکز جرم قرص در چه فاصله‌ای از مرکز آن قرار دارد؟ در شکل، یکی از رأس‌های مربع در مرکز قرص…

فیزیک پایهمتوسطقوانین نیوتون و دینامیککنکور ارشد فیزیک ۱۴۰۲ — سؤال ۲۸

یک قرص گردان افقی به شعاع ۱ m با سرعت زاویه‌ای ثابت ۷ rad/s حول محورش می‌چرخد. یک مورچه از مرکز به سمت لبهٔ قرص حرکت می‌کند. اگر ضریب اصطکاک میان پای مورچه و قرص ۰٫۵ باشد، مورچه در چه فاصله‌ای از…

فیزیک پایهمتوسطقوانین نیوتون و دینامیککنکور ارشد فیزیک ۱۴۰۲ — سؤال ۳۰

درون یک قطعهٔ مکعبی شکل یکنواخت به ضلع L یک سوراخ استوانه‌ای چنان حفر شده است که سطح جانبی استوانه مطابق شکل زیر بر وسط یکی از وجه‌های مکعب مماس است و فاصلهٔ محور استوانه تا این وجه L/۴ است. فاصلهٔ…

همهٔ 10 سؤال →