سوال ۲۸ کنکور ارشد فیزیک ۱۴۰۵

فرض کنید $\theta$ زاویهٔ بین شعاعِ رسیده به جسم و راستای قائم باشد. چون وجه تختِ نیم‌استوانه روی زمین قرار دارد، مرکز محورِ آن هم‌تراز با سطح زمین است؛ بنابراین ارتفاع جسم نسبت به زمین برابر است با

$h = R\cos\theta .$

نیروهای وارد بر جسم روی سطح منحنی (که به‌طور موضعی شیب‌دار است). در آن نقطه، خطِ مماس بر استوانه زاویهٔ $\theta$ با افق می‌سازد؛ پس با تجزیهٔ وزن $mg$ به مؤلفه‌های موازی و عمود بر سطح داریم:

• مماسی (در امتداد شیب رو به پایین، که تمایل به لغزش ایجاد می‌کند): $mg\sin\theta$.
• عمودی (به‌سمت داخل سطح): $N = mg\cos\theta$.

شرط عدم لغزش. جسم تنها تا وقتی ثابت می‌ماند که اصطکاک لازم از بیشینهٔ اصطکاک ایستایی $\mu N$ تجاوز نکند:

$mg\sin\theta \le \mu\,N = \mu\,mg\cos\theta \quad\Rightarrow\quad \tan\theta \le \mu .$

بنابراین جسم می‌تواند در هر جایی از بالاترین نقطه ($\theta=0$) تا بیشترین زاویهٔ $\theta_{\max}$ که در آن

$\tan\theta_{\max}=\mu$

صدق می‌کند، در حال سکون باقی بماند.

از زاویه به ارتفاع. هرچه جسم پایین‌تر روی استوانه قرار گیرد، $\theta$ بزرگ‌تر و $h=R\cos\theta$ کوچک‌تر می‌شود؛ سطح تندتر می‌گردد و لغزش آسان‌تر رخ می‌دهد. پس کوچک‌ترین $h$ که در آن جسم هنوز نمی‌لغزد، متناظر با بزرگ‌ترین زاویهٔ مجاز $\theta_{\max}$ است:

$\tan\theta_{\max}=\mu \;\Rightarrow\; \cos\theta_{\max}=\frac{1}{\sqrt{1+\mu^{2}}} .$

بنابراین

$h_{\min} = R\cos\theta_{\max} = \frac{R}{\sqrt{1+\mu^{2}}} .$

این با گزینهٔ ۱ مطابقت دارد.

نکتهٔ کنکوری: روی هر سطح منحنیِ هموار، لغزش موضعی تنها از طریق زاویهٔ شیب و به‌صورت $\tan\theta\le\mu$ تعیین می‌شود؛ شعاع $R$ هیچ‌گاه در شرط اصطکاک وارد نمی‌شود و فقط از طریق $h=R\cos\theta$ زاویهٔ بحرانی را به ارتفاع تبدیل می‌کند. تشخیص اینکه $\cos(\arctan\mu)=1/\sqrt{1+\mu^{2}}$ است، هندسه را بی‌درنگ به پاسخ می‌رساند.