سوال ۳۳ کنکور ارشد فیزیک ۱۴۰۱

اهمیت

۰/۵

یک میلهٔ یکنواخت به طول $L$ از یک انتها چنان آویزان شده که می‌تواند در یک صفحهٔ قائم دوران کند. از اصطکاک در نقطهٔ آویز چشم‌پوشی شود. در ابتدا انتهای آزاد میله تقریباً به طور قائم بالای نقطهٔ آویز قرار دارد و سپس رها می‌شود. شتاب زاویه‌ای میله هنگامی که با راستای قائم زاویهٔ $\theta$ می‌سازد، کدام است؟ (شتاب گرانش برابر $g$ است.)

پاسخ صحیح: گزینهٔ D — $\dfrac{۳g}{۲L}\sin\theta$

پاسخ تشریحی

گشتاور حول نقطهٔ آویز ثابت

جرم میله را $m$ می‌نامیم. مرکز جرم آن در فاصلهٔ $L/2$ از نقطهٔ آویز قرار دارد. نیروی تکیه‌گاه حول نقطهٔ آویز گشتاوری ندارد؛ تنها گرانش گشتاور ایجاد می‌کند. چون $\theta$ از راستای قائم اندازه‌گیری می‌شود، بازوی عمود برابر $(L/2)\sin\theta$ است.

|\tau|=mg\frac{L}{2}\sin\theta,\qquad I_{\mathrm{pivot}}=\int_0^L x^2\frac{m}{L}\,dx=\frac13mL^2.

معادلهٔ حرکت دورانی می‌دهد

|\ddot\theta|=\frac{|\tau|}{I_{\mathrm{pivot}}} =\frac{mg(L/2)\sin\theta}{mL^2/3} =\boxed{\frac{3g}{2L}\sin\theta}.

پس گزینهٔ ۴ درست است. اگر $\theta$ از قائمِ رو به بالا در جهت سقوط افزایش یابد، در بخش آغازین سقوط $\ddot\theta$ مثبت است؛ اگر جابه‌جایی از قائمِ رو به پایین اندازه‌گیری شود، علامت منفیِ بازگرداننده ظاهر می‌شود. گزینه‌ها اندازهٔ شتاب را نشان می‌دهند.

عامل $g/L$ بُعد معکوس زمان به توان دو دارد. شتاب در وضعیت قائم صفر است و در وضعیت افقی بیشینه می‌شود. اگر میله دقیقاً رو به بالا باشد، در تعادل ناپایدار باقی می‌ماند؛ انحراف کوچک اولیه، سقوط را آغاز می‌کند.

تلهٔ رایج: لختی دورانی را حول نقطهٔ آویز به کار ببرید، نه حول مرکز جرم. استفادهٔ نادرست از $mL^2/12$ عامل $6g/L$ موجود در گزینه‌های انحرافی را تولید می‌کند.

#physical-pendulum#gravitational-torque#pivoted-rod#moment-of-inertia#angular-acceleration

کارت‌های مرتبط

مفهومفیزیک پایه

دینامیک دورانی: ممان اینرسی، گشتاور، اندازهٔ حرکت زاویه‌ای و غلتش

ابزارهای دوران حول محور ثابت و غلتش را به کار ببرید، ورقه‌های حفره‌دار را با جرم و مساحت درست نرمال کنید و سرعت تقدیم ژیروسکوپی را از دورهٔ آن تشخیص دهید.

rotational-dynamicsmoment-of-inertiatorqueangular-momentum