دینامیک دورانی: ممان اینرسی، گشتاور، اندازهٔ حرکت زاویه‌ای و غلتش

ابزارهای دوران حول محور ثابت و غلتش را به کار ببرید، ورقه‌های حفره‌دار را با جرم و مساحت درست نرمال کنید و سرعت تقدیم ژیروسکوپی را از دورهٔ آن تشخیص دهید.

کارت مفهوم کنکور ارشد فیزیک

اهمیت

۰/۵

۱. ایدهٔ اصلی و دامنهٔ کاربرد

یک جسم صلب تغییرشکل نمی‌دهد؛ بنابراین به‌محض آنکه محور دوران را ثابت کنید، تمام پیکربندی آن با یک عدد توصیف می‌شود: زاویهٔ $\theta(t)$ . همهٔ ذرات جسم در $\omega = \dot\theta$ و $\alpha = \ddot\theta$ یکسان شریک‌اند، در حالی که ذره‌ای در فاصلهٔ عمودی $r$ از محور، تندی $v = \omega r$ و مؤلفه‌های شتاب زیر را دارد

a_t = \alpha r \quad (\text{tangential}), \qquad a_c = \omega^{2} r \quad (\text{centripetal}).

دینامیک دورانی در واقع ترجمهٔ کلمه‌به‌کلمهٔ مکانیک نیوتونی است: جرم $m \to$ ممان اینرسی $I$ ، نیرو $\vec F \to$ گشتاور $\vec\tau$ ، اندازهٔ حرکت $\vec p \to$ اندازهٔ حرکت زاویه‌ای $\vec L$ . این فرهنگ واژگان برای محور ثابت (یا محوری که از مرکز جرم می‌گذرد، حتی اگر خودِ مرکز جرم شتاب داشته باشد) دقیقاً برقرار است و همین حالت است که در مسائل فیزیک عمومی کنکور سنجیده می‌شود: قرقره‌های جرم‌دار، میله‌های لولاشده، چرخ‌ها و چرخ‌طیارها، کره‌ها و استوانه‌هایی که روی سطح شیب‌دار می‌غلتند، اسکیت‌باز در حال چرخش، و برخورد با جسمی لولا شده.

تنها ملاحظهٔ صادقانه این است: در حالت کاملاً کلی $\vec L = \mathbf{I}\,\vec\omega$ است که در آن $\mathbf{I}$ تانسور اینرسی است، پس لازم نیست $\vec L$ موازی $\vec\omega$ باشد. رابطهٔ نرده‌ای $L = I\omega$ که در ادامه به کار می‌رود، تصویر این بردار روی محور دوران است و هرگاه محور یک محور اصلی (هر محور تقارن) باشد، یا هرگاه فقط مؤلفهٔ محوری را دنبال کنید، دقیق است.

۲. قوانین و روابط کلیدی

سینماتیک زاویه‌ای (با $\alpha$ ثابت). از نظر شکل کاملاً همانند معادلات خطی است:

\omega = \omega_0 + \alpha t, \qquad \theta = \theta_0 + \omega_0 t + \tfrac{1}{2}\alpha t^{2}, \qquad \omega^{2} = \omega_0^{2} + 2\alpha\,\Delta\theta .

در نمودار $\omega$ – $t$ ، شیب برابر $\alpha$ و مساحت برابر $\Delta\theta$ است. تبدیل یکایی که طراحان کنکور عاشق آن‌اند:

\omega\,[\mathrm{rad/s}] = \frac{2\pi}{60}\,N\,[\mathrm{rev/min}] .

ممان اینرسی. همتای دورانی جرم، که همواره حول یک محور مشخص‌شده تعریف می‌شود:

I = \sum_i m_i r_i^{2} = \int r^{2}\,dm ,

که در آن $r$ فاصلهٔ عمودی تا محور است. نتایج استاندارد (برای جرم $M$ ):

جسم	محور	$I$	$\beta = I/MR^{2}$
حلقهٔ نازک / پوستهٔ استوانه‌ای نازک	محور تقارن	$MR^{2}$	$1$
دیسک توپر / استوانهٔ توپر	محور تقارن	$\tfrac{1}{2}MR^{2}$	$\tfrac{1}{2}$
کرهٔ توپر	قطر	$\tfrac{2}{5}MR^{2}$	$\tfrac{2}{5}$
پوستهٔ کروی	قطر	$\tfrac{2}{3}MR^{2}$	$\tfrac{2}{3}$
میلهٔ نازک (به طول $L$ )	$\perp$ ، گذرنده از مرکز	$\tfrac{1}{12}ML^{2}$	—
میلهٔ نازک (به طول $L$ )	$\perp$ ، گذرنده از یک سر	$\tfrac{1}{3}ML^{2}$	—
صفحهٔ مستطیلی $a \times b$	$\perp$ ، گذرنده از مرکز	$\tfrac{1}{12}M(a^{2}+b^{2})$	—

قضیهٔ محورهای موازی (محوری موازی با محور گذرنده از مرکز جرم، با جابه‌جایی $d$ ) و قضیهٔ محورهای عمود (برای صفحهٔ نازک در صفحهٔ $xy$ ):

I = I_{\text{cm}} + M d^{2}, \qquad I_z = I_x + I_y .

هر دو ضروری‌اند؛ برای نمونه ممان اینرسی میله حول سرِ آن از رابطهٔ $\tfrac{1}{12}ML^{2} + M(L/2)^{2} = \tfrac{1}{3}ML^{2}$ به‌دست می‌آید.

ورقه‌های یکنواخت با حفره: تعیین چگالی پیش از اینرسی

حفره بخشی حذف‌شده از مادهٔ اولیه است و چگالی سطحی جرم آن با بخش باقی‌مانده یکسان است. مساحت اولیه را $A_0$ ، مساحت‌های حذف‌شدهٔ بدون هم‌پوشانی را $A_j$ و جرم‌های اولیه و نهایی را $M_0$ و $M_f$ بنامید. تعریف می‌کنیم

\sigma=\frac{M_0}{A_0}=\frac{M_f}{A_0-\sum_j A_j},\qquad m_j=\sigma A_j,\qquad M_f=M_0-\sum_jm_j.

اگر جرم داده‌شده مربوط به جسم نهایی باشد، تقسیم آن بر مساحت اولیه چگالی نادرستی می‌دهد. در صورت ابهام در بیان جرم، پیش از انتخاب رابطه باید قرارداد آن را صریحاً تعیین کرد.

یک محور مشترک عمود بر ورقه و گذرنده از نقطهٔ $O$ انتخاب کنید. $S_0=\int_{A_0}s_O^2\,dA$ ممان دوم مساحت اولیه و $S_{j,c}=\int_{A_j}s_{j,c}^2\,dA$ ممان دوم هر حفره حول مرکز هندسی خودش است؛ این مرکز به فاصلهٔ $d_j$ از $O$ قرار دارد. قاعدهٔ عمومی چندحفره‌ای چنین است

I_O=\sigma\left[S_0-\sum_j\left(S_{j,c}+A_jd_j^2\right)\right] =I_{0,O}-\sum_j\left(I_{j,c}+m_jd_j^2\right).

ابتدا ممان هر بخش حذف‌شده را به همان محور مشترک منتقل کنید، سپس آن را کم کنید. جملهٔ انتقال در ممان خود حفره مثبت است و در تفریقِ جسم نهایی با علامت منفی ظاهر می‌شود. برای حفره‌های دایره‌ای با شعاع‌های $r_j$ در دیسکی به شعاع $R$ ، با $O$ در مرکز اولیه،

I_O=\sigma\pi\left[\frac{R^4}{2}-\sum_j\left(\frac{r_j^4}{2}+r_j^2d_j^2\right)\right],\qquad M_f=\sigma\pi\left(R^2-\sum_jr_j^2\right).

حفره‌ها باید داخل صفحهٔ اولیه باشند و هم‌پوشانی نداشته باشند؛ در غیر این صورت، اجتماع واقعی نواحی حذف‌شده را به کار ببرید تا بخش مشترک دو بار شمرده نشود. حذف نامتقارن معمولاً مرکز جرم را جابه‌جا می‌کند. با بردارهای مرکز هندسی در صفحه، اندازه‌گیری‌شده از $O$ ،

\vec r_f=\frac{M_0\vec r_0-\sum_jm_j\vec r_j}{M_f},\qquad I_{f,c}=I_O-M_f\lvert\vec r_f\rvert^2.

رابطهٔ آخر برای محورهای عمودِ موازی و مبدأ در $O$ است. حفره‌های مساوی با آرایش متقارن می‌توانند مرکز جرم را ثابت نگه دارند؛ یک حفرهٔ خارج از مرکز معمولاً چنین نیست.

گشتاور.

\vec\tau = \vec r \times \vec F, \qquad |\vec\tau| = rF\sin\phi = F\,r_\perp ,

که در آن $r_\perp$ بازوی گشتاور است (فاصلهٔ عمودی محور تا خط اثر نیرو). گشتاورها همواره حول نقطه/محورِ انتخاب‌شده محاسبه می‌شوند و همهٔ آن‌ها باید نسبت به یک نقطه سنجیده شوند.

قانون دوم نیوتون برای دوران.

\sum \tau_{\text{ext}} = I\alpha \qquad\text{(fixed axis, or axis through the CM)} ,

که شکل کلی و همواره معتبر آن چنین است

\sum \vec\tau_{\text{ext}} = \frac{d\vec L}{dt} .

اندازهٔ حرکت زاویه‌ای. برای یک ذرهٔ نقطه‌ای $\vec L = \vec r \times \vec p$ (با بزرگی $mvr_\perp$ )؛ برای جسم صلب حول محور تقارن $L = I\omega$ . ضربهٔ زاویه‌ای: $\int \tau\,dt = \Delta L$ . اگر $\sum\vec\tau_{\text{ext}} = 0$ باشد، $\vec L$ پایسته است — حتی وقتی خودِ $I$ تغییر کند:

I_1\omega_1 = I_2\omega_2 .

انرژی و کار.

K_{\text{rot}} = \tfrac{1}{2}I\omega^{2} = \frac{L^{2}}{2I}, \qquad W = \int \tau\,d\theta, \qquad P = \tau\omega .

غلتش بدون لغزش. نقطهٔ تماس در هر لحظه ساکن است، بنابراین

v_{\text{cm}} = \omega R, \qquad a_{\text{cm}} = \alpha R ,

و انرژی جنبشی (بنا بر قضیهٔ کونیگ) به انتقال به‌علاوهٔ دوران حول مرکز جرم تفکیک می‌شود:

K = \tfrac{1}{2}Mv_{\text{cm}}^{2} + \tfrac{1}{2}I_{\text{cm}}\omega^{2} = \tfrac{1}{2}M v_{\text{cm}}^{2}\,(1+\beta), \qquad \beta \equiv \frac{I_{\text{cm}}}{MR^{2}} .

غلتش از حال سکون روی سطح شیب‌داری به زاویهٔ $\theta$ :

a_{\text{cm}} = \frac{g\sin\theta}{1+\beta}, \qquad v_{\text{cm}} = \sqrt{\frac{2gh}{1+\beta}}, \qquad f_s = \frac{\beta}{1+\beta} Mg\sin\theta \le \mu_s Mg\cos\theta .

روی سطح صلب و ساکن، اصطکاک ایستایی ایده‌آل در تماس بدون لغزش کاری انجام نمی‌دهد، زیرا نقطهٔ تماس ساکن است. در نبود مقاومت غلتشی یا نیروی اتلافی دیگر، انرژی مکانیکی پایسته است. لغزش همراه با اصطکاک جنبشی ناصفر انرژی مکانیکی را تلف می‌کند؛ جسمی که بدون اصطکاک می‌لغزد همچنان می‌تواند انرژی مکانیکی پایسته داشته باشد.

۳. روش — چگونه به این مسائل حمله کنیم

محور (یا نقطه) را انتخاب کنید و به آن پایبند بمانید. لولا، تکیه‌گاه یا نقطهٔ تماس معمولاً بهترین انتخاب است: نیروی عکس‌العمل مجهول در آنجا بازوی گشتاور صفر دارد و از $\sum\tau$ حذف می‌شود.
دیاگرام جسم آزاد + دیاگرام «گشتاور آزاد». هر نیرو را در نقطهٔ اثرش علامت بزنید؛ وزن در مرکز جرم اثر می‌کند. بازوی گشتاور هر نیرو، $r_\perp$ ، را حساب کنید؛ یک جهت مثبت برای دوران انتخاب کنید و علامت‌ها را با آن سازگار نگه دارید.
تصمیم بگیرید کدام ابزار به سؤال می‌خورد.
- اگر $\alpha$ ، یک نیرو یا یک کشش خواسته شده $\Rightarrow$ $\tau = I\alpha$ (به‌همراه $F = Ma_{\text{cm}}$ برای بخش انتقالی).
- اگر تندی پس از یک جابه‌جایی معین خواسته شده و زمان در میان نیست $\Rightarrow$ انرژی، $Mgh = \tfrac12 M v^2 + \tfrac12 I\omega^2$ .
- اگر چیزی می‌چسبد، جمع می‌شود یا گرفته می‌شود و گشتاور خارجی حول محور وجود ندارد $\Rightarrow$ پایستگی اندازهٔ حرکت زاویه‌ای $L_i = L_f$ .
- اگر $\alpha$ ثابت است و زمان‌ها/زاویه‌ها داده شده‌اند $\Rightarrow$ سینماتیک زاویه‌ای.
$I$ را حول همان محوری که واقعاً انتخاب کرده‌اید به‌دست آورید — از مقدار جدولی حول مرکز جرم شروع کنید و $I = I_{\text{cm}} + Md^{2}$ را به کار ببرید. برای اجسام مرکب، ممان‌های اینرسی به‌سادگی جمع می‌شوند (برای حفره‌ها کم می‌شوند).
قید هندسی میان دوران و انتقال را بنویسید: $a = \alpha R$ برای غلتش یا برای نخی که از قرقره باز می‌شود؛ $v = \omega r$ برای ذره‌ای روی جسم دوّار.
نخست نمادین حل کنید، سپس عدد بگذارید. ابتدا rev/min $\to$ rad/s را تبدیل کنید. حالت‌های حدی را بررسی کنید ( $I \to 0$ نتیجهٔ قرقرهٔ بی‌جرم یعنی $a = g$ را می‌دهد؛ $\beta \to 0$ به سُرخوردن بدون اصطکاک می‌انجامد).

۴. مثال کوتاه حل‌شده

میله‌ای یکنواخت به جرم $M$ و طول $L$ از یک سر روی تکیه‌گاهی بدون اصطکاک لولا شده و از حال سکون در وضعیت افقی رها می‌شود. بیابید: (الف) شتاب زاویه‌ای اولیه، (ب) تندی زاویه‌ای هنگامی که میله قائم می‌شود، و (ج) شتاب خطی اولیهٔ نوک آزاد.

حول تکیه‌گاه، $I = \tfrac{1}{3}ML^{2}$ است (میله حول یک سر). تنها نیروی گشتاورساز وزن است که در مرکز جرم، به فاصلهٔ $L/2$ از تکیه‌گاه، اثر می‌کند؛ عکس‌العمل تکیه‌گاه بازوی صفر دارد.

(الف) در وضعیت افقی بازوی گشتاور تمامِ $L/2$ است:

\tau = Mg\frac{L}{2} = I\alpha = \tfrac{1}{3}ML^{2}\alpha \;\Rightarrow\; \alpha = \frac{3g}{2L} .

(ب) با چرخش میله گشتاور ثابت نیست ( $\tau = Mg\tfrac{L}{2}\cos\theta$ )، پس سینماتیک اینجا به کار نمی‌آید — از انرژی استفاده کنید. مرکز جرم به اندازهٔ $L/2$ پایین می‌آید:

Mg\frac{L}{2} = \tfrac{1}{2}I\omega^{2} = \tfrac{1}{2}\left(\tfrac{1}{3}ML^{2}\right)\omega^{2} \;\Rightarrow\; \omega = \sqrt{\frac{3g}{L}} ,

بنابراین نوک میله با $v = \omega L = \sqrt{3gL}$ می‌رسد — سریع‌تر از جسمی که از ارتفاع $L/2$ رها شود و تنها به $\sqrt{gL}$ می‌رسد.

(ج) نوک میله در $r = L$ قرار دارد، پس شتاب اولیهٔ آن (کاملاً مماسی، چون $\omega = 0$ ) برابر است با

a_{\text{tip}} = \alpha L = \tfrac{3}{2}g > g .

بنابراین سکه‌ای که روی نوک میله قرار داده شود جا می‌ماند: میله از سقوط آزاد پیشی می‌گیرد. این همان نمایش کلاسیکی است که نشان می‌دهد سر دور یک جسم صلب می‌تواند شتابی بیش از شتاب گرانش بگیرد، زیرا قید صلب، حرکت همهٔ بخش‌های میله را به هم پیوند می‌دهد. گشتاور تکیه‌گاه حول خودش صفر است؛ تمام گشتاور را گرانش تأمین می‌کند.

مثال کوتاه حل‌شده: حفرهٔ خارج از مرکز با دو قرارداد جرم

دیسکی ابتکاری به شعاع $R$ با حفرهٔ دایره‌ای به شعاع $R/3$ در نظر بگیرید که مرکز حفره در فاصلهٔ $d=R/2$ روی محور افقی مثبت قرار دارد. حفره کاملاً داخل دیسک است. ممان اینرسی را حول محور عمود و گذرنده از مرکز اولیهٔ دیسک بیابید.

وقتی جرم اولیه داده شده باشد، از چگالی اولیه استفاده کنید:

\sigma=\frac{M_0}{\pi R^2},\qquad m_h=\frac{M_0}{9},\qquad I_h=\frac{M_0}{9}\left[\frac12\left(\frac R3\right)^2+\left(\frac R2\right)^2\right] =\frac{11}{324}M_0R^2.

I_O=\frac12M_0R^2-I_h=\frac{151}{324}M_0R^2,\qquad M_f=\frac89M_0.

اگر جرم نهایی داده شده باشد، چگالی را از مساحت باقی‌مانده به دست آورید:

\sigma=\frac{M_f}{\pi R^2-\pi(R/3)^2}=\frac{9M_f}{8\pi R^2},\qquad M_0=\frac98M_f,\qquad m_h=\frac18M_f,\qquad I_O=\frac{151}{288}M_fR^2.

برای همان صفحهٔ فیزیکی با $R=0.30\,\mathrm m$ ، $M_0=9\,\mathrm{kg}$ و $M_f=8\,\mathrm{kg}$ ، هر دو توصیف مقدار $I_O=0.3775\,\mathrm{kg\,m^2}$ را می‌دهند. با چگالی اولیهٔ ثابت، حفره ممان اینرسی را کاهش می‌دهد؛ با جرم نهایی ثابت، چگالی لازم از چگالی دیسک کامل با همان جرم بیشتر است، پس ضریب می‌تواند از یک‌دوم بیشتر شود.

مرکز جرم نهایی در جهت دور از حفره قرار دارد: $\vec r_f=-(R/16)\hat x$ . اگر ممان اینرسی حول مرکز جرم نهایی خواسته شود، $M_fR^2/256$ را از نتیجهٔ حول $O$ کم کنید. انتخاب محور و قرارداد جرم دو انتخاب مستقل‌اند.

۵. حالت‌های خاص، گونه‌ها و حدها

قرقرهٔ جرم‌دار. نخی که روی قرقره‌ای با اینرسی $I$ می‌افتد در دو طرف کشش‌های متفاوت دارد: $(T_1 - T_2)R = I\alpha$ . تنها در حد $I \to 0$ قرقرهٔ آرمانی با «کشش یکسان در همه‌جا» بازیابی می‌شود. جرم آویزان $m$ روی قرقرهٔ $I$ با شتاب $a = g\big/\!\left(1 + I/mR^{2}\right)$ پایین می‌آید.
مسابقه روی سطح شیب‌دار. چون $a = g\sin\theta/(1+\beta)$ تنها به $\beta$ بستگی دارد و به $M$ یا $R$ بستگی ندارد، کرهٔ توپر ( $\beta = \tfrac25$ ) از دیسک ( $\tfrac12$ ) و دیسک از حلقه ( $1$ ) جلو می‌زند — صرف‌نظر از اندازه یا جرم. همتای توخالی با ضریب شکل بزرگ‌تر کندتر است، به شرط آنکه هر دو جسم بدون لغزش بغلتند.
غلتش همراه با لغزش. اگر $v_{\text{cm}} \neq \omega R$ باشد (توپ بیلیارد ضربه‌خورده، چرخی که روی یخ به دوران درآمده)، اصطکاک جنبشی وارد عمل می‌شود، کار خالص منفی انجام می‌دهد و با لغزش نقطهٔ تماس مخالفت می‌کند تا شرط غلتش برقرار شود. برای توپ با حرکت انتقالی اولیه و بدون چرخش، مرکز جرم را کند و جسم را دوّار می‌کند؛ برای چرخی با چرخش اولیهٔ بیش از مقدار لازم، می‌تواند مرکز جرم را تندتر و چرخش را کندتر کند. انرژی پایسته نیست؛ از $F = Ma$ و $\tau = I\alpha$ با $f_k = \mu_k N$ استفاده کنید، و روی صفحهٔ افقی، هنگامی که گشتاور خالص وزن و نیروی عمودی صفر است، تکانهٔ زاویه‌ای حول محور ثابت روی زمین و گذرنده از خط تماس پایسته است، زیرا $f_k$ در آنجا بازوی گشتاور ندارد. این حکم، قانون پایستگی عمومی برای نقطهٔ تماس متحرک یا سطح شیب‌دار نیست.
$I$ متغیر با $L$ ثابت. اسکیت‌بازی که دست‌هایش را جمع می‌کند، ستاره‌ای در حال رمبش، جرمی که روی صفحهٔ گردان می‌لغزد: $\omega$ متناسب با $I^{-1}$ افزایش می‌یابد و $K = L^{2}/2I$ نیز به همان نسبت $I^{-1}$ بالا می‌رود — انرژی اضافی از کاری می‌آید که برای کشیدن به سمت داخل انجام می‌دهید. برعکس، انداختن یک حلقه روی صفحهٔ گردانِ در حال چرخش یک برخورد دورانی کاملاً ناکشسان است: $L$ پایسته می‌ماند و $K$ به اندازهٔ ضریب $I_i/I_f$ از دست می‌رود.
مسائل نسبتی. برای محور ثابت $I$ ثابت است، پس $K \propto \omega^{2}$ و $L \propto \omega$ . نسبت‌هایی مانند $K_1/K_2 = (\omega_1/\omega_2)^{2}$ به بسیاری از پرسش‌ها پاسخ می‌دهند بدون آنکه هرگز $I$ را حساب کنید یا $M$ و $R$ را بدانید.
تعادل ایستایی همان حد $\alpha = 0$ است: $\sum \vec F = 0$ و $\sum \vec\tau = 0$ حول هر نقطه (اگر شرط اول برقرار باشد، شرط دوم مستقل از نقطه است).
فراتر از محور ثابت. با محوری که اصلی نباشد، $\vec L$ نوسان می‌کند و حتی برای ثابت نگه‌داشتن $\vec\omega$ به گشتاور نیاز است؛ فرفرهٔ سریع‌چرخان رابطهٔ تقدیم آهستهٔ $\Omega_p=MgR_{\text{cm}}/(I\omega)$ را دارد که در ادامه استخراج می‌شود. حرکت عمومی، تانسور اینرسی و رقص محوری در کارت جداگانهٔ پیشرفتهٔ جسم صلب بررسی می‌شوند.

تقدیم ژیروسکوپی: سرعت زاویه‌ای در برابر دوره

برای فرفرهٔ متقارن سریع‌چرخان با تکیه‌گاه ثابت، تکانهٔ زاویه‌ای را حول همان تکیه‌گاه بگیرید. فرض کنید تکانهٔ غالب ناشی از چرخش، بزرگی $L\simeq I\omega$ و زاویهٔ ثابت و ناصفر $\theta$ با محور تقدیم داشته باشد. در اینجا $I$ ممان اینرسی چرخش و $\omega$ سرعت زاویه‌ای چرخش است. در تقدیم یکنواخت،

\frac{d\vec L}{dt}=\vec\Omega_p\times\vec L,\qquad \tau=\Omega_pL\sin\theta,\qquad \Omega_p=\frac{\tau}{I\omega\sin\theta}.

عامل $\sin\theta$ از شعاع مخروطی می‌آید که بردار تکانه می‌پیماید. رابطهٔ کوتاه‌شدهٔ $\Omega_p=\tau/L$ برای مخروط با زاویهٔ قائمه، یا هنگامی معتبر است که صورت آن گشتاورِ تقسیم‌شده بر این سینوس باشد، نه بزرگی کامل گشتاور.

برای گرانش، مرکز جرم در فاصلهٔ $\ell=R_{\text{cm}}$ از تکیه‌گاه روی محور چرخش قرار دارد. بازوی گشتاور تکیه‌گاه صفر است و

\tau=Mg\ell\sin\theta,\qquad \Omega_p=\frac{Mg\ell}{I\omega},\qquad T_p=\frac{2\pi}{\Omega_p}=\frac{2\pi I\omega}{Mg\ell}\propto\omega.

سینوس گشتاور با سینوس مخروط حذف می‌شود، زیرا محور مرکز جرم و تکانهٔ زاویه‌ای غالب ناشی از چرخش، زاویهٔ یکسانی دارند. چرخش سریع‌تر تکانهٔ زاویه‌ای را افزایش می‌دهد، پس همان گشتاور جهت آن را آهسته‌تر می‌چرخاند: سرعت زاویه‌ای تقدیم کاهش و دورهٔ تقدیم افزایش می‌یابد. سه‌برابر کردن سرعت چرخش، دورهٔ تقدیم را سه‌برابر و دورهٔ چرخش را یک‌سوم می‌کند.

برای قانون گشتاور دیگر، سینوس را نگه دارید مگر آنکه هندسه حذف آن را توجیه کند. برای مثال، با زاویه و گشتاور ثابت، دورهٔ عمومی $T_p=2\pi I\omega\sin\theta/\tau$ است. این مقیاس‌بندی‌ها توزیع جرم، گشتاور و زاویهٔ ثابت و رژیم تقدیم یکنواختِ آهسته با غلبهٔ تکانهٔ چرخش را فرض می‌کنند. در زاویهٔ دقیقاً صفر، جهت بردار مخروطی را نمی‌پیماید؛ رابطهٔ پس از حذف، نتیجهٔ حدی از زاویه‌های ناصفر است. رقص محوری و شاخهٔ تقدیم سریع به معادلات کامل فرفرهٔ متقارن نیاز دارند.

کمیت خواسته‌شده	مقیاس‌بندی تقدیم آهستهٔ گرانشی
دورهٔ چرخش $2\pi/\omega$	$\omega^{-1}$
سرعت زاویه‌ای تقدیم $\Omega_p$	$\omega^{-1}$
دورهٔ تقدیم $T_p$	$\omega$

تلهٔ رایج: تا زمانی که محور را مشخص نکنید، $I$ بی‌معناست — یک «میلهٔ نازک» حول مرکزش $\tfrac{1}{12}ML^{2}$ و حول سرش $\tfrac{1}{3}ML^{2}$ دارد (ضریب ۴ اختلاف)، و $\tau = I\alpha$ بی‌سروصدا جواب بی‌معنا می‌دهد اگر $\tau$ و $I$ به نقاط متفاوتی اشاره کنند. دو تلهٔ دیگر از همین خانواده: (i) $K = \tfrac12 I\omega^{2}$ به $\omega^{2}$ بستگی دارد، پس $\omega$ منفی (میله‌ای که در نمودار $\omega$ – $t$ در جهت مخالف شروع به چرخش می‌کند) دقیقاً همان‌قدر انرژی می‌دهد که $+|\omega|$ — هرگز علامت را «اصلاح» نکنید و هرگز $|\Delta\omega|$ را در یک رابطهٔ انرژی نگذارید. (ii) برای جسم غلتان، $\tfrac12 M v_{\text{cm}}^{2}$ تنها بخشی از انرژی جنبشی است؛ فراموش‌کردن جملهٔ $\tfrac12 I_{\text{cm}}\omega^{2}$ (یا دوبار شمردن آن با استفادهٔ هم‌زمان از $I$ حول نقطهٔ تماس، $I_{\text{cont}} = I_{\text{cm}} + MR^{2}$ ، در $K = \tfrac12 I_{\text{cont}}\omega^{2}$ ) رایج‌ترین خطای تکِ مسائل غلتش است.

فرمول‌های کلیدی

Angular kinematics (constant α)

\omega = \omega_0 + \alpha t, \qquad \theta = \theta_0 + \omega_0 t + \tfrac{1}{2}\alpha t^{2}, \qquad \omega^{2} = \omega_0^{2} + 2\alpha\,\Delta\theta

Point kinematics on a rotating body

v = \omega r, \qquad a_t = \alpha r, \qquad a_c = \omega^{2} r

Moment of inertia

I = \sum_i m_i r_i^{2} = \int r^{2}\,dm

Parallel- and perpendicular-axis theorems

I = I_{\text{cm}} + M d^{2}, \qquad I_z = I_x + I_y

Torque and lever arm

\vec\tau = \vec r \times \vec F, \qquad |\vec\tau| = r F \sin\phi = F\,r_\perp

Newton's second law for rotation

\sum \tau_{\text{ext}} = I\alpha, \qquad \sum \vec\tau_{\text{ext}} = \frac{d\vec L}{dt}

Angular momentum and its conservation

\vec L = \vec r \times \vec p, \quad L = I\omega, \qquad \int \tau\,dt = \Delta L, \qquad I_1\omega_1 = I_2\omega_2

Rotational kinetic energy, work, power

K_{\text{rot}} = \tfrac{1}{2} I \omega^{2} = \frac{L^{2}}{2I}, \qquad W = \int \tau\,d\theta, \qquad P = \tau\omega

Rolling without slipping

v_{\text{cm}} = \omega R, \quad a_{\text{cm}} = \alpha R, \qquad K = \tfrac{1}{2} M v_{\text{cm}}^{2} + \tfrac{1}{2} I_{\text{cm}} \omega^{2} = \tfrac{1}{2} M v_{\text{cm}}^{2}(1+\beta)

Rolling down an incline

a_{\text{cm}} = \frac{g\sin\theta}{1+\beta}, \qquad v_{\text{cm}} = \sqrt{\frac{2gh}{1+\beta}}, \qquad \beta = \frac{I_{\text{cm}}}{MR^{2}}

rev/min to rad/s

\omega\,[\mathrm{rad/s}] = \frac{2\pi}{60}\,N\,[\mathrm{rev/min}]

Cutout mass normalization

\sigma=\frac{M_0}{A_0}=\frac{M_f}{A_0-\sum_jA_j},\quad m_j=\sigma A_j

Multi-hole moment about a common axis

I_O=I_{0,O}-\sum_j(I_{j,c}+m_jd_j^2)

Gyroscopic precession and gravitational period

\Omega_p=\frac{\tau}{I\omega\sin\theta},\quad\tau=Mg\ell\sin\theta,\quad T_p=\frac{2\pi I\omega}{Mg\ell}

#rotational-dynamics#moment-of-inertia#torque#angular-momentum#rotational-kinetic-energy#rolling-without-slipping#parallel-axis-theorem

کارت‌های مرتبط

مفهومفیزیک پایه

کار-انرژی، تکانه و حرکت دورانی

با توجه به مرز دستگاه و برهم‌کنش‌های خارجی، کار–انرژی، ضربهٔ برداری یا تکانهٔ زاویه‌ای را انتخاب کنید و با بررسی تبادل انرژی، نوع برخورد را تعیین کنید.

impulse-momentumvector-momentumsuperelastic-collisionwork-energy-theorem

مفهومفیزیک پایه

سینماتیک، دینامیک نیوتنی و مرکز جرم

سینماتیک برداری، نیروها و حرکت مقید، به‌همراه مرکز جرم وزن‌دار سامانه‌های گسسته و پیوسته و روش تفریق برای ورقه‌های مرکب.

newton-second-lawfree-body-diagramcenter-of-masscomposite-lamina

مفهوممکانیک کلاسیک

دینامیک جسم صلب، تانسورهای اینرسی و تقدیم دقیق فرفرهٔ سنگین

گشتاورهای جفتی با وزن جرمی، تانسورهای اینرسی، پایداری اویلری، تقدیم دقیق فرفرهٔ سنگین و کمینهٔ آهنگ چرخش اویلری، غلتش و گیراندازی در لولا با بررسی ضربه و انرژی.

inertia-tensorpairwise-distancesintermediate-axis-theoremhinged-capture

سوالات تمرینی · 8/9

فیزیک پایهآساندینامیک دورانیکنکور ارشد فیزیک ۱۴۰۵ — سؤال ۳۰

چرخی با سرعت زاویه‌ای ۶۰۰ دور بر دقیقه می‌چرخد. اگر انرژی جنبشی دورانی آن ۱۶۰۰۰ ژول باشد، لختی دورانی آن چند کیلوگرم مترمربع است؟ (۱۰ = π²)

فیزیک پایهآساندینامیک دورانیکنکور ارشد فیزیک ۱۴۰۴ — سؤال ۴۳

میلهٔ باریکی حول محوری که برمیله عمود است و از یک سرمیله می‌گذرد، دوران می‌کند. شکل زیر تغییر سرعت زاویه‌ای میله را با زمان نشان می‌دهد. (نمودار ω (rad/s) برحسب t(s) خطی است: از ω = -۲ در t = ۰ شروع…

فیزیک پایهمتوسطدینامیک دورانیکنکور ارشد فیزیک ۱۴۰۲ — سؤال ۳۱

یک چرخ گردان به جرم M از یک قرص یکنواخت به شعاع R که مطابق شکل زیر چهار سوراخ یکسان هر یک به شعاع r در آن ایجاد شده ساخته شده است. فاصلهٔ مرکز هر یک از سوراخ‌ها تا مرکز قرص R/۲ است. ممان اینرسی این…

فیزیک پایهمتوسطدینامیک دورانیکنکور ارشد فیزیک ۱۴۰۲ — سؤال ۳۲

فرفرهٔ متقارنی مطابق شکل زیر حول محور تقارن خود با سرعت زاویه‌ای ω می‌چرخد. زاویهٔ راستای vec L بردار تکانهٔ زاویه‌ای با محور قائم ثابت است. نقطهٔ تماس فرفره با زمین ثابت است. پریود حرکت تقدیمی فرفره…

فیزیک پایهآساندینامیک دورانیکنکور ارشد فیزیک ۱۴۰۱ — سؤال ۳۳

یک میلهٔ یکنواخت به طول L از یک انتها چنان آویزان شده که می‌تواند در یک صفحهٔ قائم دوران کند. از اصطکاک در نقطهٔ آویز چشم‌پوشی شود. در ابتدا انتهای آزاد میله تقریباً به طور قائم بالای نقطهٔ آویز قرار…

فیزیک پایهمتوسطدینامیک دورانیکنکور ارشد فیزیک ۱۴۰۱ — سؤال ۳۴

یک حلقهٔ یکنواخت واقع در صفحهٔ قائم را با سرعت خطی اولیهٔ v_0 و بدون چرخش روی یک سطح افقی به حرکت درمی‌آوریم. هنگامی که حرکت حلقه غلتشی کامل می‌شود، سرعت خطی آن چقدر است؟

فیزیک پایهمتوسطدینامیک دورانیکنکور ارشد فیزیک ۱۴۰۰ — سؤال ۳۵

یک قرقره کابل به جرم m شامل دو چرخ جانبی یکسان به شعاع R و محوری به شعاع r روی یک میز افقی در حال سکون قرار دارد. به دور محور قرقره نخ سبکی پیچیده شده است. فردی با نیروی ثابت افقی T که به انتهای آزاد…

مکانیک کلاسیکآسانمکانیک نیوتونی و سینماتیککنکور ارشد فیزیک ۱۴۰۰ — سؤال ۷۵

بردار مکان ذره‌ای به جرم m=۰ . ۰۰۳ kg به صورت x(t)=۲+۴t-۵cos۶t ، y(t)=-۱+۳t-۵sin۶t ، z(t)=۵-t است که t برحسب ثانیه و x ، y و z برحسب متر هستند. مؤلفهٔ x گشتاور وارد بر ذره در لحظهٔ t در دستگاه…

همهٔ 9 سؤال →