سوال ۲۶ کنکور ارشد فیزیک ۱۴۰۴

اتحادی که تمام کار را انجام می‌دهد

برای هر ماتریس مربعی $A$ داریم:

$\det\left(e^{A}\right) = e^{\operatorname{tr} A}.$

(طرح اثبات: روی $\mathbb{C}$ ماتریس $A$ را به فرم بالامثلثی شور $A = U T U^{\dagger}$ ببرید. آنگاه $e^{A} = U e^{T} U^{\dagger}$ بالامثلثی است با درایه‌های قطری $e^{\lambda_k}$، پس $\det e^{A} = \prod_k e^{\lambda_k} = e^{\sum_k \lambda_k} = e^{\operatorname{tr} A}$. به هیچ فرضی دربارهٔ قطری‌پذیری نیاز نیست.)

بنابراین کل مسئله به محاسبهٔ یک اثر (trace) فرو می‌کاهد — هرگز لازم نیست مقادیر ویژه پیدا شوند.

به‌کارگیری اتحاد

در اینجا توان برابر است با

$A = -\frac{i}{\hbar}\, t\, \mathbb{H} = -\frac{i t}{\hbar}\,\hbar\omega_0 M = -i\omega_0 t\, M, \qquad M = \begin{pmatrix} 1 & i & 1 \\ -i & 0 & -i \\ 1 & i & 1 \end{pmatrix}.$

اثر $M$ برابر مجموع درایه‌های قطری آن است:

$\operatorname{tr} M = 1 + 0 + 1 = 2.$

اثر یک عملگر خطی است، پس

$\operatorname{tr} A = -i\omega_0 t \,\operatorname{tr} M = -2i\omega_0 t,$

و در نتیجه

$\boxed{\;\det\left(e^{-\frac{i}{\hbar}t\mathbb{H}}\right) = e^{\operatorname{tr} A} = e^{-2i\omega_0 t}.\;}$

این همان گزینهٔ ۱ است.

بررسی متقابل از راه مقادیر ویژه

ارزش دارد که نتیجه را با طیف ماتریس نیز تأیید کنیم، چون $M$ هرمیتی است ($M_{jk} = M_{kj}^{*}$: زوج‌ها عبارت‌اند از $i \leftrightarrow -i$ و $1 \leftrightarrow 1$)، پس $\mathbb{H}$ یک هامیلتونی معتبر است و $e^{-i\mathbb{H}t/\hbar}$ یکانی (unitary) است.

سطرهای $1$ و $3$ ماتریس $M$ یکسان‌اند $\Rightarrow \det M = 0$، پس $\lambda = 0$ یک مقدار ویژه است. چندجمله‌ای مشخصه عبارت است از

$\lambda^{3} - (\operatorname{tr} M)\lambda^{2} + \left(\textstyle\sum \text{2×2 principal minors}\right)\lambda - \det M .$

کهادهای اصلی $2\times2$ عبارت‌اند از

$\begin{vmatrix} 1 & i \\ -i & 0\end{vmatrix} = -1, \qquad \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1\end{vmatrix} = 0, \qquad \begin{vmatrix} 0 & -i \\ i & 1\end{vmatrix} = -1,$

پس چندجمله‌ای برابر $\lambda^{3} - 2\lambda^{2} - 2\lambda = \lambda\left(\lambda^{2} - 2\lambda - 2\right)$ است و در نتیجه

$\lambda = 0,\qquad \lambda = 1 + \sqrt{3},\qquad \lambda = 1 - \sqrt{3}$

— همگی حقیقی، همان‌گونه که برای یک ماتریس هرمیتی لازم است، و مجموعشان $2$ است. آنگاه

$\det e^{-i\omega_0 t M} = \prod_{k} e^{-i\omega_0 t \lambda_k} = e^{-i\omega_0 t\left[0 + (1+\sqrt{3}) + (1-\sqrt{3})\right]} = e^{-2i\omega_0 t}.$

بخش‌های گنگ دقیقاً حذف می‌شوند، همان‌طور که استدلال مبتنی بر اثر تضمین می‌کرد. ✓

همچنین توجه کنید که $\left|\det e^{-i\mathbb{H}t/\hbar}\right| = \left|e^{-2i\omega_0 t}\right| = 1$، که با یکانی‌بودن سازگار است — این موضوع در اینجا هیچ گزینه‌ای را حذف نمی‌کند، اما شکل «صرفاً فاز» هر چهار گزینه را تأیید می‌کند.

نکتهٔ کنکوری: هرگاه دترمینان نمایی یک ماتریس خواسته شد، هرگز ماتریس را نمایی نکنید. از $\det e^{A} = e^{\operatorname{tr}A}$ استفاده کنید و فقط درایه‌های قطری را جمع بزنید. درایه‌های غیرقطری $\pm i$ در این هامیلتونی صرفاً تزئینی‌اند — تنها دو عدد $1$ روی قطر اهمیت دارند.

تلهٔ رایج: گزینهٔ ۳ ($1$) کسی را می‌فریبد که $\det \mathbb{H} = 0$ را می‌بیند و نتیجه می‌گیرد دترمینان نمایی برابر $e^{0}=1$ است؛ گزینهٔ ۲ کسی را می‌فریبد که دومین عدد $1$ روی قطر را فراموش می‌کند و $\operatorname{tr}M = 1$ می‌گیرد. دترمینان $e^{A}$ توسط $\operatorname{tr}A$ کنترل می‌شود، نه توسط $\det A$.