جبر خطی: پایه‌های ویژه، گروه‌های ماتریسی، متریک، تانسورها و اتحادهای عملگری

عملگرها را قطری و توابع ماتریس را محاسبه کنید؛ گروه‌های ماتریسی را تحت عمل مشخص بیازمایید و جبر پاؤلی، انقباض متریک، تبدیل تانسورها و ناورداهای رد و دترمینان را به کار ببرید.

کارت مفهوم کنکور ارشد فیزیک

اهمیت

۰/۵

۱. ایدهٔ اصلی و جایی که کاربرد دارد

یک ماتریس مربعی $A$ بازنمایی مختصاتی یک عملگر خطی روی یک فضای برداری است. تقریباً هر ساختار کمی در فیزیک از همین بنا شده است: مشاهده‌پذیرها در مکانیک کوانتومی عملگرهای هرمیتی‌اند، میدان‌های ممان اینرسی و تنش تانسورهای مرتبهٔ ۲ هستند، مُدهای عادی نوسانگرهای جفت‌شده یک مسئلهٔ مقدار ویژه‌اند، و دَوَران‌ها بر همهٔ آن‌ها اثر می‌کنند. وظایف پرتکرار عبارت‌اند از:

یافتن مقادیر ویژه و بردارهای ویژهٔ یک ماتریس.
قطری‌سازی آن (تغییر به پایه‌ای که ماتریس در آن ساده‌ترین شکل را دارد) و از این راه محاسبهٔ توابع ماتریس ( $\sqrt{A}$ ، $e^{A}$ ، $A^{n}$ ).
دستکاری تانسورها نوشته‌شده در نماد اندیسی — تشخیص مرتبه از راه شمارش اندیس‌های آزاد و استفاده از متریک/دلتای کرونکر برای بالا بردن، پایین آوردن و ادغام اندیس‌ها.
طول‌ها و ضرب‌های داخلی را با متریک و قرارداد صریح مؤلفه‌ها محاسبه کنید.
اتحادهای عملگری را به کمک ناورداها و مثال‌های نقض کوچک بیازمایید. همهٔ گزاره‌های رد و دترمینان در اینجا برای ماتریس‌های متناهی‌بعد روی اعداد حقیقی یا مختلط هستند؛ رد در بی‌نهایت‌بعد به شرایط اضافی وجود و دامنه نیاز دارد.

۲. فرمول‌ها و قضایای کلیدی

مسئلهٔ مقدار ویژه. یک بردار ناصفر $\vec v$ با $A\vec v = \lambda\vec v$ یک بردار ویژه است؛ $\lambda$ مقدار ویژهٔ آن است. جواب‌های ناپیش‌پاافتاده تنها زمانی وجود دارند که چندجمله‌ای مشخصه صفر شود:

\det(A-\lambda I)=0.

برای یک ماتریس $n\times n$ این معادله از درجهٔ $n$ بر حسب $\lambda$ است؛ دو ناوردا به‌ویژه سودمندند،

\operatorname{tr}A=\sum_i\lambda_i,\qquad \det A=\prod_i\lambda_i.

رد، دترمینان و ناورداهای تشابه

مقادیر ویژه با چندگانگی جبری شمرده می‌شوند، حتی اگر ماتریس ناقص باشد. برای ماتریس‌های مربعی با ابعاد سازگار و ضرایب نرده‌ای $\alpha,\beta$ :

\operatorname{tr}(\alpha A+\beta B)=\alpha\operatorname{tr}A+\beta\operatorname{tr}B,\qquad \operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA),

\det(AB)=\det A\,\det B,\qquad \det(\alpha A)=\alpha^n\det A.

خطی بودن رد از جمع درایه‌های قطری نتیجه می‌شود. خاصیت دوری با تعویض دو جمع متناهی به دست می‌آید:

\operatorname{tr}(AB)=\sum_{i,j}A_{ij}B_{ji}=\sum_{j,i}B_{ji}A_{ij}=\operatorname{tr}(BA).

هیچ فرض جابه‌جایی‌پذیری لازم نیست. برای سه عامل یا بیشتر، جابه‌جایی دوری معتبر است، ولی ترتیب عوامل را نمی‌توان دلخواه عوض کرد:

\operatorname{tr}(ABC)=\operatorname{tr}(BCA)=\operatorname{tr}(CAB),\qquad \operatorname{tr}(ABC)\ne\operatorname{tr}(ACB)\quad\text{in general}.

دترمینان نسبت به جمع ماتریس‌ها جمع‌پذیر نیست و رد نسبت به ضرب ماتریس‌ها ضرب‌پذیر نیست. چندخطی بودن دترمینان به هر سطر یا ستون جداگانه مربوط است، در حالی که سایر سطرها یا ستون‌ها ثابت نگه داشته می‌شوند؛ این ویژگی به معنای جمع‌پذیری نسبت به کل ماتریس نیست.

تغییر پایه با $S$ وارون‌پذیر، ماتریس عملگر مشابه $A'=S^{-1}AS$ را می‌دهد. چندجمله‌ای مشخصه، مقادیر ویژه، رد و دترمینان آن تغییر نمی‌کنند:

\det(A'-\lambda I)=\det(A-\lambda I),\qquad \operatorname{tr}A'=\operatorname{tr}A,\qquad \det A'=\det A.

خاصیت دوری رد و ضرب‌پذیری دترمینان، دو اتحاد آخر را با حذف $S$ و $S^{-1}$ ثابت می‌کنند. همین ناوردایی برای $\operatorname{tr}(A^k)$ نیز برقرار است. یک بررسی سودمند برای نمایی، بدون نیاز به قطری‌پذیری، عبارت است از

\det(e^A)=e^{\operatorname{tr}A}.

روی اعداد مختلط، $A$ را مثلثی کنید: نمایی آن درایه‌های قطری برابر نمایی مقادیر ویژه دارد و حاصل‌ضرب آن‌ها نمایی مجموع مقادیر ویژه است. نمایی ماتریس با نمایی درایه‌به‌درایه تفاوت دارد.

قطری‌سازی. اگر $A$ دارای $n$ بردار ویژهٔ مستقل خطی باشد، آن‌ها را به‌عنوان ستون‌های $S$ کنار هم بچینید. آنگاه

S^{-1}AS=D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n),\qquad S=\big(\vec v_1\ \vec v_2\ \cdots\ \vec v_n\big).

$S$ باید وارون‌پذیر باشد ( $\det S\ne 0$ )، یعنی ستون‌هایش باید مستقل باشند.

قضیهٔ طیفی. یک ماتریس حقیقی متقارن ( $A^{T}=A$ )، و به‌طور کلی‌تر یک ماتریس هرمیتی ( $A^{\dagger}=A$ )، دارای مقادیر ویژهٔ حقیقی و یک پایهٔ ویژهٔ متعامد یکه و کامل است. آنگاه $S$ را می‌توان متعامد/یکانی انتخاب کرد، $S^{-1}=S^{\dagger}$ ، و $A=\sum_i\lambda_i\,\vec v_i\vec v_i^{\dagger}$ .

تابع یک ماتریس. اگر ماتریس قطری‌پذیر باشد و $f$ در همسایگی طیف آن تحلیلی باشد (با انتخاب شاخه در صورت نیاز)، آن را قطری کنید و تابع را به هر مقدار ویژه اعمال کنید:

f(A)=S\,f(D)\,S^{-1}=S\,\operatorname{diag}\!\big(f(\lambda_1),\dots,f(\lambda_n)\big)\,S^{-1}.

اگر $A$ از پیش قطری باشد این کار درایه‌به‌درایه است: $\sqrt{\operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2)}=\operatorname{diag}(\sqrt{\lambda_1},\sqrt{\lambda_2})$ .

نمایی هنگامی که مربع ماتریس مضربی از همانی است

اگر $A^2=a^2I$ باشد، قطری‌سازی لازم نیست. برای $a\ne0$ ، هر توان زوج مضربی نرده‌ای از $I$ و هر توان فرد مضربی نرده‌ای از $A$ است. با جدا کردن جمله‌های سری همگرای نمایی، برای ضریب نرده‌ای $z$ داریم

e^{zA}=\cosh(az)I+\frac{\sinh(az)}{a}A.

برای $a,t$ حقیقی، نمای موهومی به جای آن می‌دهد

e^{itA}=\cos(at)I+i\frac{\sin(at)}{a}A.

عملگرهای تصویر $P_\pm=\tfrac12(I\pm A/a)$ در روابط $AP_\pm=\pm aP_\pm$ ، $P_+P_-=0$ و $P_++P_-=I$ صدق می‌کنند. بنابراین

f(A)=f(a)P_++f(-a)P_-.

این روش در هر بُعدی بدون نیاز به هرمیتی بودن کاربرد دارد. برای $a\ne0$ ، ریشه‌های متمایز چندجمله‌ای نابودکننده قطری‌پذیری را تضمین می‌کنند؛ اگر فقط یک مقدار ویژه حضور داشته باشد، یکی از دو عملگر تصویر می‌تواند صفر باشد. یکانی بودن $e^{itA}$ علاوه بر این هنگامی نتیجه می‌شود که $A$ هرمیتی و $t$ حقیقی باشد.

اگر به جای آن $A^2=-b^2I$ با $b>0$ باشد، نمایی با پارامتر زمانی حقیقی مثلثاتی است:

e^{tA}=\cos(bt)I+\frac{\sin(bt)}{b}A.

اگر $A^2=0$ باشد، در حد توان‌صفر سری دقیقاً قطع می‌شود:

e^{zA}=I+zA.

این نتیجه از $\sinh(az)/a\to z$ در حد $a\to0$ نیز به دست می‌آید. در میان‌بر هرگز بر صفر تقسیم نکنید. به‌طور کلی‌تر، $N^k=0$ سری نمایی را پس از توان $k-1$ قطع می‌کند.

ضرب ماتریس‌های پاؤلی، انقباض برداری و نمایی

در قرارداد کارتزین راست‌گرد، ماتریس‌های پاؤلی عبارت‌اند از

\sigma_1=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\qquad \sigma_2=\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix},\qquad \sigma_3=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}.

ضرب مستقیم اتحادهای زیر را می‌دهد که جمع در آن‌ها صریح نوشته شده است:

\sigma_i\sigma_j=\delta_{ij}I+i\sum_{k=1}^3\epsilon_{ijk}\sigma_k,\qquad [\sigma_i,\sigma_j]=2i\sum_{k=1}^3\epsilon_{ijk}\sigma_k,\qquad \{\sigma_i,\sigma_j\}=2\delta_{ij}I.

اینجا $\epsilon_{123}=+1$ است. فرض کنید $a_i,b_j$ اعداد نرده‌ای جابه‌جایی‌پذیر حقیقی یا مختلط باشند؛ پس هم با یکدیگر و هم با ماتریس‌ها جابه‌جا می‌شوند. تعریف کنید $A=\vec a\cdot\vec\sigma=\sum_{i=1}^3a_i\sigma_i$ و $B=\vec b\cdot\vec\sigma=\sum_{j=1}^3b_j\sigma_j$ . با ترتیب مشخص‌شده ضرب کنید:

\begin{aligned} AB&=\sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^3a_ib_j\sigma_i\sigma_j\\ &=\left(\sum_{i=1}^3a_ib_i\right)I +i\sum_{k=1}^3\left(\sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^3\epsilon_{ijk}a_ib_j\right)\sigma_k\\ &=(\vec a\cdot\vec b)I+i(\vec a\times\vec b)\cdot\vec\sigma. \end{aligned}

مؤلفهٔ ضرب برداری برابر $\sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^3\epsilon_{kij}a_ib_j$ است. جایگشت دوری می‌دهد $\epsilon_{ijk}=\epsilon_{kij}$ ، بدون علامت منفی. با تعویض دو بردار، $BA$ را به دست آورید؛ ضرب داخلی تغییر نمی‌کند و ضرب برداری علامت عوض می‌کند. بنابراین

[A,B]=2i(\vec a\times\vec b)\cdot\vec\sigma,\qquad \{A,B\}=2(\vec a\cdot\vec b)I.

ترتیب را با $[\sigma_1,\sigma_2]=2i\sigma_3$ بررسی کنید. بردارهای موازی جابه‌جاگر صفر می‌دهند. برای ضرایب حقیقی، $A,B$ هرمیتی‌اند، پس جابه‌جاگر آن‌ها باید پادهرمیتی باشد؛ عامل صریح $i$ این بررسی را تأمین می‌کند. برای ضرایب مختلط، ضرب داخلی در این اتحاد جبری دوخطی و بدون مزدوج‌گیری مختلط است؛ این ضرب، ضرب داخلی هرمیتی یا مربع هنجار مثبت نیست.

با قرار دادن $\vec b=\vec a$ ، مربع لازم برای میان‌بر نمایی پیشین به دست می‌آید:

(\vec a\cdot\vec\sigma)^2=(\vec a\cdot\vec a)I,\qquad (\hat n\cdot\vec\sigma)^2=I\quad(\hat n\in\mathbb R^3,\ \lVert\hat n\rVert=1).

پس نمایی بردار یکه با جداکردن توان‌های زوج و فرد نتیجه می‌شود:

e^{i\theta\hat n\cdot\vec\sigma}=\cos\theta\,I+i\sin\theta\,\hat n\cdot\vec\sigma.

برای دوران‌ها و تحول فیزیکی اسپین، به تکانهٔ زاویه‌ای و اسپین مراجعه کنید؛ مولد شامل نصف زاویهٔ دوران فیزیکی است. این بخش جبر را بنا می‌کند و فصل دینامیک اسپین را تکرار نمی‌کند.

ضرایب عملگری به جمله‌های اضافی نیاز دارند. اگر $a_i,b_j$ روی عامل دیگری اثر کنند و با همهٔ ماتریس‌های پاؤلی جابه‌جا شوند، ولی لزوماً با یکدیگر جابه‌جا نشوند، بسط دقیق برابر است با

[A,B]=\sum_{i=1}^3[a_i,b_i]I +i\sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^3\sum_{k=1}^3\epsilon_{ijk}\{a_i,b_j\}\sigma_k, \qquad \{a_i,b_j\}=a_ib_j+b_ja_i.

اتحاد نرده‌ای تنها وقتی بازیابی می‌شود که جابه‌جاگرهای ضرایب صفر باشند. اگر ضرایب با ماتریس‌های پاؤلی نیز جابه‌جا نشوند، حتی این رابطهٔ عامل‌های مجزا معتبر نیست؛ حاصل‌ضرب‌های کامل را با حفظ ترتیب و بدون عبور دادن ضرایب از ماتریس‌ها بسط دهید. برای ضرایب عملگری نامحدود، شرایط دامنه نیز باید بررسی شوند.

گروه‌های ماتریسی: هم مجموعه و هم عمل مهم‌اند

پیش از ادعای گروه‌بودن، بُعد $n\ge1$ و میدان $\mathbb F$ را ثابت کنید. همهٔ ماتریس‌های مجموعه باید هم‌اندازه باشند؛ میدان در اینجا $\mathbb R$ یا $\mathbb C$ است. گروه، یک مجموعه همراه با عمل دوتایی مشخص است، نه ویژگی مجموعه به‌تنهایی.

بسته‌بودن (نتیجهٔ عمل عضوی از مجموعه باشد)، شرکت‌پذیری، وجود عضو همانی در مجموعه و وجود وارون در مجموعه برای هر عضو را بررسی کنید. جمع و ضرب معمول ماتریسی شرکت‌پذیرند؛ ضرب لزوماً جابه‌جایی‌پذیر نیست. همانی جمع $0$ و وارون جمع $-A$ است؛ همانی ضرب $I$ و وارون ضرب $A^{-1}$ است که به وارون‌پذیری نیاز دارد.

ماتریس‌های هرمیتی تحت جمع. برای ماتریس‌های هرمیتی مختلط هم‌اندازه و ضرایب حقیقی،

(A+B)^\dagger=A+B,\qquad(-A)^\dagger=-A,\qquad0^\dagger=0, \qquad(tA)^\dagger=tA\quad(t\in\mathbb R).

این ماتریس‌ها یک گروه آبلی جمعی و فضای برداری حقیقی با بُعد $n^2$ تشکیل می‌دهند. فضای برداری مختلط نیستند: برای $A$ هرمیتی ناصفر، $(iA)^\dagger=-iA\ne iA$ است. حاصل‌ضرب آن‌ها لزوماً هرمیتی نیست:

(AB)^\dagger=B^\dagger A^\dagger=BA,\qquad AB\text{ is Hermitian}\ \Longleftrightarrow\ AB=BA.

این هم‌ارزی فرض می‌کند هر دو عامل هرمیتی‌اند. حتی زیرمجموعهٔ ماتریس‌های هرمیتی وارون‌پذیر، عموماً تحت ضرب بسته نیست؛ مجموعهٔ کامل هرمیتی‌ها، ماتریس‌های منفرد نیز دارد.

ماتریس‌های یکانی تحت ضرب. برای $U^\dagger U=V^\dagger V=I$ ، ضرب با حفظ ترتیب می‌دهد:

(UV)^\dagger(UV)=V^\dagger U^\dagger UV=I,\qquad U^{-1}=U^\dagger.

همانی $I$ یکانی است، وارون آن که همان الحاقی است نیز یکانی است و شرکت‌پذیری از ضرب ماتریسی به ارث می‌رسد. بنابراین $U(n)$ گروهی ضربی است؛ برای $n\ge2$ عموماً غیرآبلی است. تحت جمع، بلافاصله شکست می‌خورد:

I^\dagger I=(-I)^\dagger(-I)=I,\qquad I+(-I)=0,\qquad0^\dagger0=0\ne I.

هر دو جملهٔ جمع یکانی‌اند، ولی حاصل جمع یکانی نیست. همانی جمع نیز در مجموعه وجود ندارد. یک مثال نقض بسته‌بودن کافی است؛ برای رد این ادعا، بررسی همهٔ اصول دیگر لازم نیست.

گروه خطی عمومی. همهٔ ماتریس‌های وارون‌پذیر $n\times n$ روی میدان ثابت، تحت ضرب، $GL(n,\mathbb F)$ را تشکیل می‌دهند:

\det(AB)=\det A\det B\ne0,\qquad\det I=1,\qquad(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}.

هر وارون همچنان روی همان میدان و عضوی از مجموعه است. بسته‌بودن و ترتیب وارون بدون جابه‌جایی‌پذیری نتیجه می‌شوند. در مقابل، همهٔ ماتریس‌های مربعی گروه جمعی تشکیل می‌دهند، ولی گروه ضربی نیستند، زیرا ماتریس‌های منفرد وارون ضربی ندارند. گروه لزوماً فضای برداری یا جبر نیست: ضرب در ضریب حقیقی، یکانی‌بودن را حفظ نمی‌کند و حاصل‌ضرب هرمیتی‌ها عموماً در فضای برداری آن‌ها باقی نمی‌ماند.

تانسورهای کارتزین. یک تانسور مرتبهٔ $k$ دارای $k$ اندیس است که هر یک با یک عامل دَوَران تبدیل می‌شود:

T'_{i_1\cdots i_k}=R_{i_1 j_1}\cdots R_{i_k j_k}\,T_{j_1\cdots j_k}.

برای عبارتی که از قانون تبدیل تانسوری پیروی می‌کند، مرتبهٔ تانسور برابر با شمار اندیس‌های آزاد و ادغام‌نشده است؛ این مفهوم با رتبهٔ ماتریس، یعنی بُعد تصویر آن، تفاوت دارد. صرف شمارش اندیس‌ها ثابت نمی‌کند که هر آرایهٔ دلخواه تانسور است. تانسور همسانگرد مرتبهٔ ۲ همان دلتای کرونکر $\delta_{ij}$ است ( $=1$ اگر $i=j$ ، در غیر این صورت $0$ )؛ ادغام یک زوج اندیس تکراری (جمع‌بندی اینشتین) مرتبه را ۲ واحد کاهش می‌دهد.

متریک، قرارداد مؤلفه‌ها و تبدیل پایه

برای بردار حقیقی، در پایه‌ای مشخص بنویسید $\vec v=v^i\vec e_i$ . در اینجا $v^i$ مؤلفه‌های مختصاتی پادوردا هستند؛ متریک متقارن و نامنفرد در فضای اقلیدسی برابر $g_{ij}=\vec e_i\cdot\vec e_j$ است، یا به‌طور کلی‌تر یک فرم دوخطی متقارن و ناتباهیدهٔ داده‌شده است. روی هر زوج اندیس بالا–پایین تکراری جمع می‌زنیم. فرم درجهٔ دوم آن عبارت است از

q(\vec v)=g_{ij}v^iv^j=\boldsymbol v^{\mathsf T}g\boldsymbol v, \qquad \lVert\vec v\rVert=\sqrt{q(\vec v)}\quad\text{for a positive-definite metric}.

اندیس‌ها را با متریک و وارون آن پایین و بالا ببرید، نه با یک آرایهٔ یکسان، مگر آنکه متریک برابر وارون خودش باشد:

v_i=g_{ij}v^j,\qquad v^i=g^{ij}v_j,\qquad g^{ik}g_{kj}=\delta^i{}_j,

q(\vec v)=v_iv^i=g^{ij}v_iv_j.

فهرست چاپ‌شدهٔ مؤلفه‌ها با اندیس پایین ممکن است از اندیس‌ها صرفاً به‌عنوان برچسب استفاده کند. صریحاً بیان کنید که آن فهرست را ستون مختصاتی $v^i$ می‌دانید یا مؤلفه‌های واقعاً پایین‌آورده‌شدهٔ $v_i$ . حالت اول با $g_{ij}$ و حالت دوم با $g^{ij}$ منقبض می‌شود. این دو قرارداد در پایهٔ متعامد یکهٔ اقلیدسی یکسان‌اند، ولی در پایهٔ عمومی چنین نیست.

برای متریک متقارن، هر دو درایهٔ غیرقطری در جمع دوگانه ظاهر می‌شوند:

g_{ij}v^iv^j=\sum_i g_{ii}(v^i)^2+2\sum_{i<j}g_{ij}v^iv^j.

جملهٔ قطری ضریب دو ندارد. جملهٔ متقاطع چاپ‌شده به شکل $c\,v^1v^2$ متناظر با $g_{12}=g_{21}=c/2$ است.

تبدیل پایه را با $\vec e'_i=\vec e_jP^j{}_i$ و $P$ وارون‌پذیر مشخص کنید. مؤلفه‌های همان بردار هندسی و همان فرم دوخطی آنگاه چنین تبدیل می‌شوند:

\boldsymbol v'=P^{-1}\boldsymbol v,\qquad g'=P^{\mathsf T}gP,\qquad \boldsymbol v'_{\mathrm{cov}}=P^{\mathsf T}\boldsymbol v_{\mathrm{cov}}.

در نتیجه

\boldsymbol v'^{\mathsf T}g'\boldsymbol v'=\boldsymbol v^{\mathsf T}g\boldsymbol v.

تانسور هموردای مرتبهٔ دو از همان قانون هم‌نهشتی متریک $g$ پیروی می‌کند. عملگر خطی با اندیس‌های مختلط از تشابه پیروی می‌کند: $A'=P^{-1}AP$ . قانون یکی را برای دیگری به کار نبرید. برای دوران‌های کارتزین، قرارداد پیشین از $\boldsymbol v'=R\boldsymbol v$ و $P=R^{\mathsf T}$ استفاده می‌کند و رابطهٔ $T'_{ij}=R_{ik}R_{jl}T_{kl}$ بازیابی می‌شود. در این حالت متریک همانی اقلیدسی، همانی باقی می‌ماند.

متریک نامعین هم مقادیر ویژهٔ مثبت دارد و هم منفی. تعداد راستاهای مثبت و منفی، یعنی امضای متریک، تحت هر تبدیل پایهٔ حقیقی وارون‌پذیر حفظ می‌شود، هرچند خود مقادیر ویژهٔ متریک می‌توانند تحت هم‌نهشتی تغییر کنند. فرم درجهٔ دوم می‌تواند برای بردار ناصفر منفی یا صفر باشد. بنابراین ریشهٔ دوم آن لزوماً حقیقی نیست و یک نرم مثبت اقلیدسی محسوب نمی‌شود؛ حتی $\sqrt{\lvert q\rvert}$ نیز مشکل بردارهای ناصفر با طول صفر را برطرف نمی‌کند. متریک منفرد وارون ندارد، پس بالا بردن اندیس به نامنفرد بودن نیاز دارد. در فضاهای ضرب داخلی مختلط، متریک هرمیتی و ترانهادهٔ مزدوج جایگزین این قرارداد دوخطی حقیقی می‌شوند.

۳. روش — چگونه این مسائل را حل کنیم

مسئلهٔ ویژه / قطری‌سازی:

$\det(A-\lambda I)=0$ را بنویسید و برای $\lambda_i$ حل کنید. با $\operatorname{tr}A$ و $\det A$ درستی‌آزمایی متقابل کنید.
برای هر $\lambda_i$ معادلهٔ $(A-\lambda_i I)\vec v=0$ را برای یافتن بردار ویژه (تا حد یک ضریب مقیاس) حل کنید.
$S$ را از بردارهای ویژه به‌عنوان ستون بسازید؛ آنگاه $S^{-1}AS=\operatorname{diag}(\lambda_i)$ ، مرتب‌شده متناظر با ستون‌های $S$ .
میان‌بُر هنگامی که پرسیده می‌شود کدام ماتریس $A$ را قطری می‌کند: پاسخ باید وارون‌پذیر باشد، پس هر گزینه با $\det=0$ را پیش از هر جبر بردار ویژه کنار بگذارید.

تابع یک ماتریس: قطری کنید، $f$ را به هر مقدار ویژه اعمال کنید، و باز-تبدیل کنید — یا، اگر ماتریس قطری است، مستقیماً روی قطر اثر دهید. با به توان دو رساندن/نمایی گرفتنِ معکوس، درستی‌آزمایی کنید.

عبارت تانسوری / اندیسی: ابتدا مطمئن شوید اجزا و عملیات از قوانین تبدیل مناسب پیروی می‌کنند، سپس اندیس‌های آزاد را مشخص کنید. یکسان بودن اندیس‌های آزاد در همهٔ جمله‌ها $\Rightarrow$ تانسوری با همان مرتبه. انقباض معتبر دو جایگاه آزاد را حذف می‌کند؛ انقباض کامل تانسور مرتبهٔ دو با $\delta_{ij}$ در مختصات کارتزین متعامد یکه، اسکالر می‌دهد. هر اندیس ساختگی در هر جمله دقیقاً دو بار ظاهر می‌شود؛ در مختصات عمومی انقباض به یک اندیس بالا و یک اندیس پایین، یا به متریک صریح، نیاز دارد.

محاسبه با متریک: قرارداد مؤلفه‌ها را بیان کنید، فرم درجهٔ دوم کامل را بنویسید، هر زوج غیرقطری را دو بار بشمارید و پیش از گرفتن ریشهٔ دوم حقیقی علامت را بررسی کنید. اگر مؤلفه‌های پایین‌آورده‌شده داده شده‌اند، از متریک وارون استفاده کنید. در تبدیل پایه، هم مؤلفه‌ها و هم متریک را تبدیل کنید و یکسان بودن مقدار اسکالر را بیازمایید.

اتحادهای عملگری: قانون عمومی را از برابری اتفاقی برای یک زوج خاص متمایز کنید. ادعاهای جمع‌پذیری یا ضرب‌پذیری را با ماتریس‌های کوچک همانی یا قطری بیازمایید؛ یک مثال نقض برای رد ادعای عمومی کافی است. برای رد از خاصیت دوری، برای دترمینان از ضرب‌پذیری و برای تغییر پایهٔ ویژه از ناوردایی تشابه استفاده کنید. هر عبارت چاپ‌شده را مستقل بررسی کنید؛ صرف اینکه سؤال چندگزینه‌ای یک پاسخ می‌خواهد، فرض نکنید دقیقاً یک عبارت نادرست است.

آزمون گروه ماتریسی: اندازه، میدان، مجموعه و عمل را ثابت کنید. پیش از آزمون بسته‌بودن، همانی و وارون متناظر را مشخص کنید. برای مجموعه‌های هرمیتی از جمع و خطی‌بودن الحاقی، برای حاصل‌ضرب یکانی‌ها از معکوس‌شدن ترتیب عوامل تحت الحاقی، و برای ماتریس‌های وارون‌پذیر از ضرب‌پذیری دترمینان استفاده کنید. اگر بسته‌بودن برقرار نیست، توقف کنید: یک مثال نقض، ادعای گروه‌بودن را رد می‌کند.

میان‌بر مربع ماتریس: ابتدا $A^2$ را محاسبه کنید. فرمول هذلولوی، مثلثاتی یا توان‌صفر را بر اساس ضریب نرده‌ای مربع و حقیقی یا موهومی بودن نما انتخاب کنید. $e^{0A}=I$ ، مشتق در صفر و در صورت ارتباط، یکانی بودن و $\det(e^{zA})=e^{z\operatorname{tr}A}$ را بررسی کنید.

جبر برداری پاؤلی: ابتدا مشخص کنید آیا ضرایب اعداد نرده‌ای‌اند. جمع مؤلفه‌ها را صریح بنویسید، اتحاد ضرب پاؤلی را به کار ببرید و انقباض لوی‌چی‌ویتا را به‌صورت ضرب برداری شناسایی کنید. یک بار ترتیب را معکوس کنید تا علامت و ضریب دو بررسی شوند. برای نمایی، دو بردار ضرایب را برابر قرار دهید تا مربع تعیین شود.

۴. مثال کوچک حل‌شده

$e^{tA}$ را برای $A=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ (مولد یک سامانهٔ دوترازی جفت‌شده) محاسبه کنید.

مقادیر ویژه: $\det(A-\lambda I)=\lambda^{2}-1=0\Rightarrow\lambda=\pm1$ ، با بردارهای ویژهٔ $\vec v_{+}=\tfrac{1}{\sqrt2}(1,1)$ و $\vec v_{-}=\tfrac{1}{\sqrt2}(1,-1)$ . چون $A$ متقارن است، $S=\tfrac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}$ متعامد است ( $S^{-1}=S$ ). آنگاه

e^{tA}=S\begin{pmatrix}e^{t}&0\\0&e^{-t}\end{pmatrix}S^{-1}=\begin{pmatrix}\cosh t&\sinh t\\ \sinh t&\cosh t\end{pmatrix}.

پایهٔ قطری یک نمایی عملگری را به دو نمایی اسکالر تبدیل کرد و $\dot{\vec x}=A\vec x$ را حل کرد. همین روش پایهٔ ویژه، با عامل موهومی مناسب در مولد، تقدیم اسپین را نیز حل می‌کند؛ نمایی حقیقی نمایش‌داده‌شده هذلولوی است و تحول زمانی یکانی نیست.

مثالی از پاؤلی با ترتیب مشخص

بردارهای ابداعی با ضرایب نرده‌ای $\vec a=(2,0,1)$ و $\vec b=(0,3,0)$ را انتخاب کنید. آنگاه

\vec a\cdot\vec b=0,\qquad \vec a\times\vec b=(-3,0,6),\qquad AB=i(-3\sigma_1+6\sigma_3),\qquad [A,B]=-6i\sigma_1+12i\sigma_3.

برای بررسی مستقل ماتریسی، $A=2\sigma_1+\sigma_3$ و $B=3\sigma_2$ هستند. استفاده از $[\sigma_3,\sigma_2]=-2i\sigma_1$ دقیقاً همان جابه‌جاگر را می‌دهد. بخش نرده‌ای صفر است، چون بردارها متعامدند، ولی جابه‌جاگر صفر نیست.

مثال‌های نقض ابداعی برای بسته‌بودن و ضرب

ماتریس‌های حقیقی هم‌اندازهٔ زیر را انتخاب کنید؛ هنگام بررسی هرمیتی یا یکانی‌بودن، آن‌ها را به‌عنوان ماتریس‌های مختلط نیز در نظر بگیرید:

H=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix},\qquad K=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\qquad R=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}.

عمل	نتیجه	چه چیزی را ثابت می‌کند؟
$H+K$	$\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}$	جمع هرمیتی‌ها هرمیتی باقی می‌ماند
$HK$	$\begin{pmatrix}0&1\\2&0\end{pmatrix}$	دو عامل هرمیتی وارون‌پذیر می‌توانند حاصل‌ضرب غیرهرمیتی داشته باشند
$R^\dagger R$	$I$	$R$ یکانی است؛ وارون آن همان الحاقی آن است
$R(-R)$	$I$	حاصل‌ضرب ماتریس‌های یکانی، یکانی باقی می‌ماند
$I+(-I)$	$0$	جمع برای هر دو مجموعهٔ یکانی و وارون‌پذیر بسته نیست
$\det(HK)$	$-2$	این حاصل‌ضرب غیرهرمیتی همچنان وارون‌پذیر است

دو سطر آخر، گروه وابسته به عمل را از یک ردهٔ نام‌گذاری‌شدهٔ ماتریس‌ها متمایز می‌کنند. غیرهرمیتی‌بودن به معنای منفردبودن و غیرجابه‌جایی‌پذیری به معنای غیرشرکت‌پذیری نیست.

انقباض متریک، پایین آوردن اندیس و تغییر پایه

متریک مثبت معین و مؤلفه‌های پادوردای ابداعی زیر را در نظر بگیرید:

g=\begin{pmatrix}2&1\\1&3\end{pmatrix},\qquad \boldsymbol v=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}.

مربع طول برابر است با

q=2(1)^2+2(1)(1)(2)+3(2)^2=18,\qquad \lVert\vec v\rVert=3\sqrt2.

مؤلفه‌های پایین‌آورده‌شده و متریک وارون عبارت‌اند از

\boldsymbol v_{\mathrm{cov}}=g\boldsymbol v=\begin{pmatrix}4\\7\end{pmatrix},\qquad g^{-1}=\frac15\begin{pmatrix}3&-1\\-1&2\end{pmatrix}.

انقباض مؤلفه‌های پایین‌آورده‌شده با وارون همان نتیجه را می‌دهد:

q=\frac{3(4)^2-2(4)(7)+2(7)^2}{5}=18.

اکنون از $P=\operatorname{diag}(2,1)$ استفاده کنید که بردار پایهٔ اول را دو برابر می‌کند:

\boldsymbol v'=\begin{pmatrix}1/2\\2\end{pmatrix},\qquad g'=\begin{pmatrix}8&2\\2&3\end{pmatrix},\qquad \boldsymbol v'_{\mathrm{cov}}=\begin{pmatrix}8\\7\end{pmatrix}.

q'=8(1/2)^2+2(2)(1/2)(2)+3(2)^2=18.

طول نرده‌ای ناورداست، هرچند مؤلفه‌ها و درایه‌های متریک تغییر کرده‌اند. استفاده از متریک اولیه با مؤلفه‌های جدید نادرست است.

امضای نامعین

برای متریک ابداعی $h=\operatorname{diag}(1,-2)$ ، بردار با مؤلفه‌های $(1,1)$ دارای $q=1-2=-1$ است، پس طول آن به شکل ریشهٔ دوم حقیقی نیست. بردار ناصفر $(\sqrt2,1)$ دارای $q=2-2=0$ است. بنابراین نامنفرد بودن به‌تنهایی نرم مثبت را تضمین نمی‌کند؛ مثبت معین بودن لازم است.

اتحادهای نادرست و ترتیب دوری

$A=\operatorname{diag}(2,5)$ و $B=\operatorname{diag}(1,4)$ را انتخاب کنید. محاسبهٔ مستقیم می‌دهد

\det A=10,\qquad \det B=4,\qquad \det(A+B)=27,\qquad \det(AB)=40.

مجموع دترمینان‌ها $14$ است که نه با دترمینان جمع برابر است و نه با دترمینان حاصل‌ضرب. حاصل‌ضرب آن‌ها $40$ است که به‌درستی $\det(AB)$ را بازیابی می‌کند. برای بررسی سریع‌تر با ماتریس همانی، $A=B=I_3$ می‌دهد $\det(A+B)=8$ ، $\det A+\det B=2$ و $\det(AB)=1$ . این مثال هم جمع‌پذیری دترمینان و هم ادعای نادرست برابری دترمینان حاصل‌ضرب با مجموع دترمینان‌ها را رد می‌کند. هیچ علامت جمع چاپ‌شده‌ای را نمی‌توان بی‌توضیح به ضرب تعبیر کرد.

برای زوج قطری داریم $\operatorname{tr}(A+B)=12=7+5$ ، ولی $\operatorname{tr}(AB)=22\ne35=(\operatorname{tr}A)(\operatorname{tr}B)$ . برای دیدن اینکه خاصیت دوری به معنای ترتیب دلخواه نیست، از ماتریس‌های زیر استفاده کنید:

U=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix},\qquad V=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix},\qquad W=\operatorname{diag}(2,3).

آنگاه $\operatorname{tr}(UVW)=2=\operatorname{tr}(VWU)$ ، ولی $\operatorname{tr}(UWV)=3$ است.

تشابه بدون تقارن

برای $D=\operatorname{diag}(2,5)$ و $S=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ ،

S^{-1}DS=\begin{pmatrix}2&-3\\0&5\end{pmatrix}.

ماتریس دیگر قطری یا متقارن به نظر نمی‌رسد، اما مقادیر ویژهٔ آن $2,5$ ، رد آن $7$ و دترمینان آن $10$ باقی می‌مانند. متعامد بودن $S$ برای ناوردایی تشابه لازم نیست.

میان‌بر مربع ماتریس فراتر از ماتریس‌های پاؤلی

ماتریس نامتقارن ابداعی زیر را در نظر بگیرید:

B=\begin{pmatrix}0&3\\12&0\end{pmatrix},\qquad B^2=36I.

بدون محاسبهٔ هیچ بردار ویژه‌ای،

e^{tB}=\begin{pmatrix}\cosh(6t)&\tfrac12\sinh(6t)\\2\sinh(6t)&\cosh(6t)\end{pmatrix},

e^{itB}=\begin{pmatrix}\cos(6t)&\tfrac{i}{2}\sin(6t)\\2i\sin(6t)&\cos(6t)\end{pmatrix}.

دترمینان هر دو برابر $1$ است، زیرا $\operatorname{tr}B=0$ ، و مشتق آن‌ها در صفر به‌ترتیب $B$ و $iB$ است. نمایی موهومی عموماً یکانی نیست، زیرا $B$ هرمیتی نیست. برای مولد دوران حقیقی،

J=\begin{pmatrix}0&-2\\2&0\end{pmatrix},\qquad J^2=-4I,\qquad e^{tJ}=\begin{pmatrix}\cos(2t)&-\sin(2t)\\\sin(2t)&\cos(2t)\end{pmatrix}.

برای مثال توان‌صفر،

N=\begin{pmatrix}0&4\\0&0\end{pmatrix},\qquad N^2=0,\qquad e^{tN}=\begin{pmatrix}1&4t\\0&1\end{pmatrix}.

این ماتریس ناقص است، ولی نمایی آن دقیق و ساده است.

شیء یا عملیات	قانون درست	اشتباه رایج
عملگر تحت تغییر پایه	$A'=P^{-1}AP$	اشتباه گرفتن تشابه با هم‌نهشتی
متریک هموردا تحت تغییر پایه	$g'=P^{\mathsf T}gP$	ثابت نگه داشتن متریک همراه با تغییر مؤلفه‌ها
طول از مؤلفه‌های مختصاتی	$q=g_{ij}v^iv^j$	حذف یکی از دو سهم غیرقطری
طول از مؤلفه‌های پایین‌آورده‌شده	$q=g^{ij}v_iv_j$	استفاده از متریک به جای وارون آن
رد	خطی و دوری	فرض ضرب‌پذیری یا ترتیب دلخواه
دترمینان	ضرب‌پذیر	فرض جمع‌پذیری نسبت به کل ماتریس‌ها
مرتبهٔ تانسور	تعداد اندیس‌های آزاد پس از انقباض معتبر	اشتباه گرفتن با رتبهٔ ماتریس

۵. حالت‌های خاص، موارد ویژه، حدود

مقادیر ویژهٔ تباهیده: یک $\lambda$ تکراری ممکن است باز هم بردارهای ویژهٔ مستقل کافی بدهد (قطری‌پذیر) یا ندهد (ناقص، نیازمند فرم جردن). ماتریس‌های متقارن/هرمیتی هرگز ناقص نیستند.
مقادیر ویژهٔ منفی یا مختلط زیر $\sqrt{\cdot}$ : در شاخهٔ انتخاب‌شدهٔ ریشهٔ دوم طیفی، مقدار ویژهٔ منفی ریشهٔ نرده‌ای مختلط دارد ( $\sqrt{-2}=\sqrt2\,i$ )؛ ریشه‌های ماتریسی یکتا نیستند (انتخاب علامت به‌ازای هر مقدار ویژه). مثلاً $\operatorname{diag}(9,-4)$ ریشهٔ طیفی $\operatorname{diag}(3,2i)$ دارد. این موضوع وجود هر نوع ریشهٔ ماتریسی حقیقی را رد نمی‌کند: $\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}^{2}=-I_2$ حقیقی است و زیرفضای مقدار ویژهٔ منفی تکراری را در هم می‌آمیزد. تابع طیفی انتخاب‌شده را از یافتن هر ریشهٔ دوم متمایز کنید.
ماتریس‌های پاؤلی $\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z$ : هرمیتی، مقادیر ویژه $\pm1$ ، و برای بردار یکهٔ حقیقی $\hat n$ ، $e^{i\theta\,\hat n\cdot\vec\sigma}=\cos\theta\,I+i\sin\theta\,\hat n\cdot\vec\sigma$ — اسب بارکشِ اسپین ۱/۲.
بخش‌های متقارن و پادمتقارن: هر $T_{ij}=\tfrac12(T_{ij}+T_{ji})+\tfrac12(T_{ij}-T_{ji})$ ؛ زیرفضاهای متقارن و پادمتقارن تحت دوران حفظ می‌شوند. بخش پادمتقارن $V_iV_j$ صفر می‌شود چون مؤلفه‌ها جابه‌جایی‌پذیرند، با این حال شیء صفر همچنان یک تانسور مرتبهٔ ۲ مشروع است.
ادغام کامل $\sum_{i,j}\delta_{ij}V_iV_j=\sum_i V_i^{2}=|\vec V|^{2}$ : یک اسکالر ناوردای مرتبهٔ ۰، نه یک تانسور مرتبهٔ ۲.

نکتهٔ کنکوری: دو واکنشِ سریع بیشتر این موارد را در چند ثانیه حل می‌کند. (i) کدام $S$ ماتریس $A$ را قطری می‌کند؟ — ماتریس تبدیل باید وارون‌پذیر باشد، پس هر گزینه با $\det=0$ را پیش از محاسبهٔ هر چیزی دور بریزید. (ii) کدام عبارت یک تانسور مرتبهٔ $k$ هست (یا نیست)؟ — محاسبه نکنید، فقط اندیس‌های آزاد را بشمارید؛ یک زوج که در برابر $\delta_{ij}$ جمع‌بندی شود مرتبه را دو واحد کم می‌کند و یک اسکالر می‌دهد. برای تابع یک ماتریس قطری، درایه‌به‌درایه روی قطر اثر دهید و به یاد داشته باشید که در شاخهٔ ریشهٔ دوم طیفی، درایهٔ منفی ریشهٔ نرده‌ای مختلط دارد.

تلهٔ رایج: مشخص کنید مؤلفه‌های بردار مختصاتی‌اند یا پایین‌آورده‌شده؛ متناسب با آن از متریک یا وارون آن استفاده کنید و هر دو جملهٔ غیرقطری را بشمارید. فرم درجهٔ دوم نامعین، نرم مثبت نیست. رد خطی و دوری است، دترمینان ضرب‌پذیر است و هر اتحاد چاپ‌شده به بررسی مستقل نیاز دارد. برای نمایی ماتریس، پیش از هر عملیات درایه‌ای توان‌ها را ساده کنید.

تلهٔ رایج: اتحادهای برداری پاؤلی ضرایب نرده‌ای جابه‌جایی‌پذیر را فرض می‌کنند. معکوس کردن ترتیب جابه‌جاگر، ضرب برداری را معکوس می‌کند و کم کردن حاصل‌ضرب معکوس، ضریب دو را ایجاد می‌کند؛ ضرایب عملگری می‌توانند جابه‌جاگرهای اضافی ایجاد کنند.

فرمول‌های کلیدی

Characteristic equation

\det(A-\lambda I)=0

Trace and determinant invariants

\operatorname{tr}A=\sum_i\lambda_i,\qquad \det A=\prod_i\lambda_i

Diagonalization (eigenvectors as columns of S)

S^{-1}AS=\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)

Function of a matrix

f(A)=S\,\operatorname{diag}\!\big(f(\lambda_1),\dots,f(\lambda_n)\big)\,S^{-1}

Spectral decomposition (Hermitian)

A=\sum_i \lambda_i\,\vec v_i\vec v_i^{\dagger}

Rank-2 tensor transformation

T'_{ij}=R_{ik}R_{jl}\,T_{kl}

Full contraction to an invariant

\sum_{i,j}\delta_{ij}V_iV_j=\sum_i V_i^{2}=|\vec V|^{2}

Trace linearity and cyclicity

\operatorname{tr}(\alpha A+\beta B)=\alpha\operatorname{tr}A+\beta\operatorname{tr}B,\qquad\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)

Determinant product and scaling laws

\det(AB)=\det A\det B,\qquad\det(\alpha A)=\alpha^n\det A

Determinant of the matrix exponential

\det(e^{zA})=e^{z\operatorname{tr}A}

Metric contraction and index raising/lowering

q=g_{ij}v^iv^j=g^{ij}v_iv_j,\qquad v_i=g_{ij}v^j,\qquad v^i=g^{ij}v_j

Symmetric metric cross terms

g_{ij}v^iv^j=\sum_i g_{ii}(v^i)^2+2\sum_{i<j}g_{ij}v^iv^j

Basis transformation: coordinates, metric and operator

\boldsymbol v'=P^{-1}\boldsymbol v,\qquad g'=P^{\mathsf T}gP,\qquad A'=P^{-1}AP

Exponential for A squared equals a squared I (a nonzero)

A^2=a^2I:\quad e^{zA}=\cosh(az)I+\frac{\sinh(az)}a A

Imaginary exponent for A squared equals a squared I (a nonzero)

A^2=a^2I:\quad e^{itA}=\cos(at)I+i\frac{\sin(at)}a A

Real exponential for a negative scalar square (b positive)

A^2=-b^2I:\quad e^{tA}=\cos(bt)I+\frac{\sin(bt)}b A

Nilpotent limit

A^2=0:\quad e^{zA}=I+zA

Pauli multiplication

\sigma_i\sigma_j=\delta_{ij}I+i\sum_{k=1}^3\epsilon_{ijk}\sigma_k

Pauli vector product

(\vec a\cdot\vec\sigma)(\vec b\cdot\vec\sigma)=(\vec a\cdot\vec b)I+i(\vec a\times\vec b)\cdot\vec\sigma

Pauli vector commutator for scalar coefficients

[\vec a\cdot\vec\sigma,\vec b\cdot\vec\sigma]=2i(\vec a\times\vec b)\cdot\vec\sigma

Pauli exponential for a real unit vector

e^{i\theta\hat n\cdot\vec\sigma}=\cos\theta I+i\sin\theta\hat n\cdot\vec\sigma

Additive Hermitian closure, inverse and real scalars

(A+B)^\dagger=A+B,\quad(-A)^\dagger=-A,\quad(tA)^\dagger=tA\ (t\in\mathbb R)

Hermitian product criterion, for Hermitian factors

(AB)^\dagger=BA,\qquad AB\text{ is Hermitian}\Longleftrightarrow AB=BA

Unitary multiplicative closure and inverse

(UV)^\dagger(UV)=I,\qquad U^{-1}=U^\dagger

General linear group inverse order

(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}

#matrix-groups#pauli-matrices#matrix-exponential#diagonalization#metric-tensor#index-notation#trace-determinant

کارت‌های مرتبط

قضیهریاضی فیزیک

حساب برداری، تبدیل‌های متعامد و هندسهٔ منحنی

حساب برداری دیفرانسیلی و انتگرالی، پاریتهٔ قطبی و محوری در تبدیل‌های متعامد، و هندسهٔ طول قوس و فرنهٔ منحنی‌های منظم.

vector-calculuspolar-axial-parityvector-triple-productintegral-theorems

مفهوممکانیک کلاسیک

نوسان‌های کوچک و مُدهای طبیعی سامانه‌های جفت‌شده

بسط هر تعادل پایدار تا مرتبهٔ دوم، یک سامانهٔ با n درجهٔ آزادی را به مسئلهٔ مقدار ویژهٔ تعمیم‌یافتهٔ (V-ω^2M)a=0 تبدیل می‌کند که ریشه‌هایش فرکانس‌های طبیعی و بردارهای ویژه‌اش مُدهای طبیعی‌اند — به‌علاوهٔ حدهای میرا ( γ در برابر ω_0 ) و واداشتهٔ همین معادلات.

small-oscillationsnormal-modescoupled-oscillatorssecular-equation

مفهوممکانیک کوانتومی

فرمالیسم کوانتومی: حالت‌ها، گردایه‌ها، احتمال‌ها و دینامیک

جبر دیراک، عملگر چگالی و احتمال‌های بورن را برای حالت‌های خالص یا آمیخته به کار ببرید، گشتاورهای شعاعی را بهنجار کنید و تحول کوانتومی، روابط ارنفست و جابه‌جاگرهای تکانه را با بررسی دامنه و پیمانه استخراج کنید.

density-matrixborn-ruleradial-probabilitydirac-notation

مفهوممکانیک کوانتومی

تکانهٔ زاویه‌ای و اسپین

جبر تکانهٔ زاویه‌ای نردبان‌ها، ماتریس‌ها و جفت‌شدگی را تعیین می‌کند؛ بخش‌های سمتی، ضرب‌های داخلی اسکالر و دوران‌های پاؤلی وابسته به فاز به آزمون‌ها و قراردادهای علامت متمایز نیاز دارند.

angular-momentumladder-operatorsspherical-harmonicscoupled-basis

سوالات تمرینی · 8/15

ریاضی فیزیکآسانجبر خطی و تانسورهاکنکور ارشد فیزیک ۱۴۰۵ — سؤال ۵۲

اگر A= ۲, ۰; ۰, -۲ آنگاه √A کدام است؟

ریاضی فیزیکآسانجبر خطی و تانسورهاکنکور ارشد فیزیک ۱۴۰۵ — سؤال ۵۵

اگر ‪ V_i (i=۱,۲,۳) ‬ مؤلفه‌های یک بردار باشد، کدام مورد، مؤلفه‌های یک تانسور مرتبه ۲ نیست؟ (‪ δ_ij ‬ نماد کرونکر است.)

ریاضی فیزیکآسانجبر خطی و تانسورهاکنکور ارشد فیزیک ۱۴۰۵ — سؤال ۵۶

فرض کنید A = ۱, ۲ ; ۲, ۱ و ماتریس S به‌گونه‌ای است که ماتریس S^(-1)AS قطری است. کدام مورد ماتریس S را نشان می‌دهد؟ (سطر بالای ماتریس A در تصویر اسکن‌شده کمی بریده شده است؛ درایه‌ها از روی سطر پایین…

ریاضی فیزیکمتوسطجبر خطی و تانسورهاکنکور ارشد فیزیک ۱۴۰۴ — سؤال ۲۶

دترمینان e^(-i/(ħ) t H) وقتی که H = ħω_∘ 1, i, 1 ; -i, 0, -i ; 1, i, 1 باشد، کدام است؟

ریاضی فیزیکآسانجبر خطی و تانسورهاکنکور ارشد فیزیک ۱۴۰۴ — سؤال ۲۷

ویژه بردارهای ماتریس زیر کدامند؟ ۱, ۱, ۰ ; ۱, ۱, ۰ ; ۰, ۰, ۱

ریاضی فیزیکآسانجبر خطی و تانسورهاکنکور ارشد فیزیک ۱۴۰۳ — سؤال ۵۷

اگر A_۱ و A_۲ و A_۳ سه مؤلفه از بردار A باشند و متریک فضا به شکل ۱, ۰, ۰; ۰, ۰, ۱; ۰, ۱, ۰ باشد، اندازهٔ بردار A کدام است؟

ریاضی فیزیکمتوسطجبر خطی و تانسورهاکنکور ارشد فیزیک ۱۴۰۳ — سؤال ۵۹

نمایش قطری‌شدهٔ ماتریس dfrac ۱ √۲ ۰, ۱, ۰; ۱, ۰, ۱; ۰, ۱, ۰ کدام است؟

ریاضی فیزیکمتوسطجبر خطی و تانسورهاکنکور ارشد فیزیک ۱۴۰۳ — سؤال ۶۰

اگر A= ۰, ۲; ۲, ۰ ، آنگاه e^((iπ A)/۶) کدام است؟

همهٔ 15 سؤال →