سوال ۲۷ کنکور ارشد فیزیک ۱۴۰۴

صورت‌بندی مسئلهٔ مقدار ویژه

باید معادلهٔ $A\vec{v} = \lambda \vec{v}$ را برای ماتریس زیر حل کنیم

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$

ماتریس $A$ حقیقی و متقارن است ($A^{T}=A$)، پس بنا بر قضیهٔ طیفی سه مقدار ویژهٔ حقیقی و یک پایهٔ ویژهٔ متعامد یکه دارد. همین نکته از پیش به ما می‌گوید که پاسخ درست باید از سه بردار یکهٔ دوبه‌دو عمود بر هم تشکیل شده باشد — نکته‌ای که ارزش دارد پیش از هر محاسبهٔ جبری به یاد داشته باشیم.

ساختار بلوکی

ماتریس به‌صورت بلوک‌قطری است: راستای $3$ کاملاً از صفحهٔ $(1,2)$ جدا می‌شود،

$A = B \oplus (1), \qquad B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}.$

بنابراین $\hat{e}_{3} = (0,0,1)^{T}$ بی‌درنگ یک بردار ویژه با $\lambda = 1$ است و دو بردار ویژهٔ دیگر تماماً در صفحهٔ $xy$ قرار دارند.

چندجمله‌ای مشخصه

$\det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} 1-\lambda & 1 & 0 \\ 1 & 1-\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 1-\lambda \end{vmatrix} = (1-\lambda)\left[(1-\lambda)^{2} - 1\right] = 0.$

با بسط دادن عبارت داخل کروشه، $(1-\lambda)^{2}-1 = \lambda^{2}-2\lambda = \lambda(\lambda-2)$، پس

$(1-\lambda)\,\lambda\,(\lambda-2) = 0 \;\Rightarrow\; \lambda = 0,\; 1,\; 2.$

سه مقدار ویژهٔ متمایز داریم، پس هر فضای ویژه یک‌بعدی است. به بررسی رد ماتریس توجه کنید: $0+1+2 = 3 = \operatorname{tr}A$ و $\det A = 0\cdot 1\cdot 2 = 0$، که با یکسان بودن دو سطر ماتریس سازگار است.

بردارهای ویژه

$\lambda = 2$: رابطهٔ $(A-2I)\vec{v}=0$ می‌دهد $-v_{1}+v_{2}=0$، $v_{1}-v_{2}=0$، $-v_{3}=0$، یعنی $v_{1}=v_{2}$ و $v_{3}=0$. با نرمال‌سازی،

$\vec{v}_{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} \\ 0 \end{pmatrix}.$

$\lambda = 0$: رابطهٔ $A\vec{v}=0$ می‌دهد $v_{1}+v_{2}=0$ و $v_{3}=0$، پس

$\vec{v}_{0} = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{-\sqrt{2}}{2} \\ 0 \end{pmatrix}.$

$\lambda = 1$: رابطهٔ $(A-I)\vec{v}=0$ می‌دهد $v_{2}=0$، $v_{1}=0$ و $v_{3}$ آزاد است، پس

$\vec{v}_{1} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}.$

این سه بردار دوبه‌دو متعامد و نرمال‌شده‌اند، دقیقاً همان‌طور که قضیهٔ طیفی ایجاب می‌کند. در این پایه

$A \;\longrightarrow\; \operatorname{diag}(2,\,0,\,1).$

بررسی گزینه‌های انحرافی

یک آزمون یک‌خطی کافی است: $A$ را اعمال کنید و ببینید خروجی با ورودی موازی است یا نه.

• گزینهٔ ۱ همان پایهٔ استاندارد دکارتی است؛ $\hat{e}_{1}$ و $\hat{e}_{2}$ در این آزمون رد می‌شوند، پس نادرست است (این گزینه فقط برای یک ماتریس قطری درست می‌بود).
• گزینهٔ ۲ بردار نخستی با نُرم $\sqrt{\tfrac14+\tfrac14+\tfrac12}=1$ دارد، اما $A(\tfrac12,-\tfrac12,-\tfrac{\sqrt2}{2})^{T} = (0,0,-\tfrac{\sqrt2}{2})^{T}$ است که متناسب با خودِ آن بردار نیست؛ ضمناً $(0,1,0)^{T}$ نیز بردار ویژه نیست.
• گزینهٔ ۳ بردارهای درستِ $\lambda=2$ و $\lambda=1$ را حفظ می‌کند، اما بردار متناظر با $\lambda=0$ را با $(1,0,0)^{T}$ جایگزین کرده که بردار ویژه نیست (و بر $\tfrac{1}{\sqrt2}(1,1,0)^{T}$ عمود هم نیست).
• گزینهٔ ۴ دقیقاً همان مجموعهٔ متعامد یکه‌ای است که در بالا به دست آوردیم. ✅

پاسخ: گزینهٔ ۴.

نکتهٔ کنکوری: برای یک ماتریس حقیقی متقارن، بردارهای ویژه به‌طور خودکار متعامدند، بنابراین اغلب می‌توانید گزینه‌ها را با یک نگاه حذف کنید — هر گزینه‌ای که سه بردارش دوبه‌دو عمود بر هم نباشند (اینجا گزینه‌های ۲ و ۳) پیش از محاسبهٔ حتی یک دترمینان نادرست است. همچنین ماتریسی که دو سطر یکسان داشته باشد همواره $\lambda = 0$ را در طیف خود دارد و تفاضل راستاهای مختصاتی متناظر، بردار پوچ آن است.