تعریف و مفهوم یکنوایی

نهایی: در ۱۲ امتحان از ۲۶، روی‌هم ۴/۷۵ نمره

ایده

تابع $f$ روی مجموعهٔ $A$ صعودی است اگر برای هر $a < b$ در $A$ داشته باشیم $f (a) \leq f (b)$ ، و اکیداً صعودی است اگر $f (a) < f (b)$ . نزولی و اکیداً نزولی با همان شرط $a < b$ تعریف می‌شوند، ولی با $f (a) \geq f (b)$ و $f (a) > f (b)$ . هر تابع اکیداً صعودی، صعودی هم هست ولی برعکس نه؛ تابع ثابت هم صعودی است و هم نزولی. هر جمله را با همین تعریف بسنج و برای اثبات، تعریف را روی عددهای دلخواه $a$ و $b$ از بازه بنویس.

a < b \Rightarrow f (a) < f (b)

نمونهٔ نهایی

نهایی شهریور ۱۴۰۴، سؤال ۵۱ نمره

اگر توابع $f$ و $g$ در یک فاصله اکیداً صعودی باشند، نشان دهید که تابع $f + g$ نیز در این فاصله اکیداً صعودی است.

دو عدد دلخواه از فاصله بردار که $a$ کوچک‌تر باشد.۰/۲۵ نمره
$a < b$
چون $f$ اکیداً صعودی است، تعریف را برای $f$ بنویس.۰/۲۵ نمره
$f (a) < f (b)$
چون $g$ هم اکیداً صعودی است، تعریف را برای $g$ هم بنویس.۰/۲۵ نمره
$g (a) < g (b)$
دو نابرابری را جمع کن و نتیجه را برای $f + g$ بنویس.۰/۲۵ نمره
$f (a) + g (a) < f (b) + g (b) \Rightarrow (f + g) (a) < (f + g) (b)$

همهٔ سؤال‌های این تیپ

امتحان نهایی ۱۲

۶ سؤال دیگر