جایگشت با تکرار

نهایی: در ۱۳ امتحان از ۲۶، روی‌هم ۱۱/۲۵ نمره

ایده

اگر از $n$ شیء، $n_{۱}$ تا یکسان از نوع اول، $n_{۲}$ تا یکسان از نوع دوم و … باشند، اول همه را متمایز بگیر و $n!$ جایگشت بشمار. جابه‌جاییِ شیءهای یکسان حالت تازه نمی‌سازد، پس بر $n_{۱}!$ و $n_{۲}!$ و … تقسیم کن؛ شیئی که تکرار نشده $۱!$ می‌دهد.

\frac{n !}{n _{۱} ! \times n _{۲} ! \times \dots \times n _{k} !}

نمونهٔ نهایی

نهایی خرداد ۱۴۰۴، سؤال ۱۴۱ نمره

تعداد اعداد $۷$ رقمی که با ارقام $۱$ ، $۲$ ، $۲$ ، $۲$ ، $۴$ ، $۴$ و $۵$ می‌توان نوشت را محاسبه کنید.

اگر هفت رقم متمایز بودند، $۷!$ عدد داشتیم.۰/۲۵ نمره
$۷!$
رقم $۲$ سه بار آمده و جابه‌جایی‌اش حالت تازه نمی‌سازد، پس بر $۳!$ تقسیم کن.۰/۲۵ نمره
$\frac{۷ !}{۳ !}$
رقم $۴$ دو بار آمده، پس بر $۲!$ هم تقسیم کن ( $۱$ و $۵$ فقط یک بارند).۰/۲۵ نمره
$\frac{۷ !}{۳ ! \times ۲ !}$
حاصل را حساب کن.۰/۲۵ نمره
$\frac{۵۰۴۰}{۶ \times ۲} = ۴۲۰$

همهٔ سؤال‌های این تیپ

امتحان نهایی ۱۳

۷ سؤال دیگر