اسکان در اتاق‌ها و گروه‌بندی

نهایی: در ۷ امتحان از ۲۶، روی‌هم ۶/۵ نمرهکنکور: ۱ سؤال

ایده

اتاق‌ها (یا گروه‌ها) را از هم متمایز بگیر. برای اتاق اول از میان همهٔ افراد به اندازهٔ ظرفیتش انتخاب کن، برای اتاق بعد از کسانی که مانده‌اند، و همین‌طور تا آخر؛ جواب‌ها در هم ضرب می‌شوند و همان جایگشت با تکرار است. اگر صورت سؤال بگوید اتاق‌های هم‌اندازه یکسان‌اند، جواب را بر فاکتوریلِ تعداد آن اتاق‌ها تقسیم کن.

(n _{۱} n) (n _{۲} n - n _{۱}) \dots = \frac{n !}{n _{۱} ! \times n _{۲} ! \times \dots \times n _{k} !}

نمونهٔ نهایی

نهایی شهریور ۱۴۰۴، سؤال ۱۲۱ نمره

به چند طریق می توان $۹$ نفر را در سه اتاق $۲$ نفره، $۳$ نفره و $۴$ نفره واقع در یک هتل اسکان داد؟
(ذکر راه‌حل الزامی است.)

اگر $۹$ نفر را در یک ردیف بچینیم، دو نفر اول اتاق دونفره، سه نفر بعدی اتاق سه‌نفره و چهار نفر آخر اتاق چهارنفره را پر می‌کنند؛ این $۹!$ حالت است.۰/۲۵ نمره
$۹!$
جابه‌جایی نفرها درون هر اتاق حالت تازه نمی‌سازد، پس بر $۲!$ و $۳!$ و $۴!$ تقسیم کن.۰/۷۵ نمره
$\frac{۹ !}{۲ ! \times ۳ ! \times ۴ !} = \frac{۳۶۲۸۸۰}{۲۸۸} = ۱۲۶۰$

همهٔ سؤال‌های این تیپ

امتحان نهایی ۷

۱ سؤال دیگر

نهایی شهریور ۱۳۹۹، سؤال ۱۱۰/۷۵ نمره

کنکور ۱

کنکور ریاضی ۱۴۰۴، نوبت دوم، سؤال ۳۸