لانهٔ کبوتری با نقطه‌ها و فاصله

نهایی: در ۷ امتحان از ۲۶، روی‌هم ۸/۷۵ نمره

ایده

شکل را به چند قسمت کوچک تقسیم کن و هر قسمت را یک لانه بگیر؛ تعداد قسمت‌ها باید از تعداد نقطه‌ها کمتر باشد. بزرگ‌ترین فاصلهٔ دو نقطه در یک قسمت (قطر مربع، ضلع مثلث) همان عددِ مسئله است. طبق اصل لانهٔ کبوتری قسمتی دو نقطه دارد و فاصلهٔ آن دو از قطر (یا ضلع) کمتر است؛ قطر مربع را با فیثاغورس بنویس. اگر کمترین تعداد نقطه را می‌خواهند، تعداد قسمت‌ها به‌علاوهٔ یک است.

نمونهٔ نهایی

نهایی مرداد ۱۴۰۵، سؤال ۱۸۱/۲۵ نمره

$۱۳$ نقطه درون یک مستطیل $۳ \times ۴$ قرار دارند. نشان دهید حداقل $۲$ نقطه از این $۱۳$ نقطه وجود دارد که فاصلهٔ آن‌ها از هم، کمتر از $۲$ باشد. (با ارائه راه حل)

مستطیل $۳ \times ۴$ را به $۱۲$ مربع به ضلع $۱$ تقسیم کن و هر مربع را یک لانه بگیر.۰/۲۵ نمره
$۳ \times ۴ = ۱۲ لانه$
$۱۳$ نقطه را کبوتر بگیر.۰/۲۵ نمره
$۱۳ کبوتر$
کبوترها از لانه‌ها بیشترند، پس طبق اصل لانهٔ کبوتری مربعی دو نقطهٔ $A$ و $B$ دارد.۰/۲۵ نمره
$۱۳ > ۱۲$
در آن مربع، $A B$ را وتر مثلثِ قائم‌الزاویهٔ $A B C$ بگیر که ضلع‌هایش موازی ضلع‌های مربع‌اند؛ هر ضلعِ قائمه کمتر از $۱$ است.۰/۲۵ نمره
$A B^{۲} = A C^{۲} + B C^{۲} < ۱^{۲} + ۱^{۲} = ۲$
از دو طرف جذر بگیر.۰/۲۵ نمره
$A B < ۲$

همهٔ سؤال‌های این تیپ

امتحان نهایی ۷

۱ سؤال دیگر

نهایی شهریور ۱۳۹۸، سؤال ۱۵۱/۵ نمره