حل دستگاه با ماتریس وارون: هندسه ۳، فصل ۱

ایده

دستگاه را به شکل $A X = B$ بنویس: $A$ ماتریس ضرایب، $X$ ستون مجهول‌ها و $B$ ستون عددهای سمت راست است. اگر $∣ A ∣ \neq = ۰$ باشد، $A^{- ۱}$ را از چپ در دو طرف ضرب کن؛ جواب با ضرب $A^{- ۱}$ در $B$ به دست می‌آید و در این ضرب، $A^{- ۱}$ باید سمت چپ باشد.

A X = B \Rightarrow A^{- ۱} (A X) = A^{- ۱} B \Rightarrow X = A^{- ۱} B

نمونهٔ نهایی

نهایی مرداد ۱۴۰۵، سؤال ۴۱/۵ نمره

دستگاه ${۳ x - ۵ y = - ۱ ۲ x + y = ۸$ را با استفاده از ماتریس وارون حل کنید.

دستگاه را با ماتریس ضرایب، ستون مجهول‌ها و ستون ثابت‌ها بنویس.
$[۳ ۲ - ۵ ۱] [x y] = [- ۱ ۸] \Rightarrow X = A^{- ۱} B$
دترمینان را حساب کن تا بدانی وارون وجود دارد و ضریبش $\frac{۱}{∣ A ∣}$ چیست.۰/۲۵ نمره
$∣ A ∣ = ۳ \times ۱ - (- ۵) \times ۲ = ۱۳ \Rightarrow \frac{۱}{∣ A ∣} = \frac{۱}{۱۳}$
جای درایه‌های قطر اصلی را عوض کن و علامت درایه‌های قطر فرعی را عوض کن.۰/۵ نمره
$[۳ ۲ - ۵ ۱] ⟶ [۱ - ۲ ۵ ۳]$
وارون را در ستون ثابت‌ها بگذار، به همان ترتیب که $X = A^{- ۱} B$ می‌گوید.۰/۲۵ نمره
$X = \frac{۱}{۱۳} [۱ - ۲ ۵ ۳] [- ۱ ۸]$
ضرب کن و از تساوی دو ماتریس، $x$ و $y$ را بخوان.۰/۵ نمره
$X = \frac{۱}{۱۳} [- ۱ + ۴۰ ۲ + ۲۴] = [۳ ۲] \Rightarrow x = ۳, y = ۲$

همهٔ سؤال‌های این تیپ

امتحان نهایی ۱۶

۱۰ سؤال دیگر