دایرهٔ مماس بر دایرهٔ دیگر

نهایی: در ۵ امتحان از ۲۵، روی‌هم ۸/۲۵ نمره

ایده

مرکز و شعاع دایرهٔ داده‌شده را از معادله‌اش بخوان و فاصلهٔ دو مرکز $d = O O^{'}$ را حساب کن. مماس خارج یعنی $d = r + r^{'}$ و مماس داخل یعنی $d = ∣ r - r^{'} ∣$ . از همین رابطه شعاع مجهول (یا عبارتی که پارامتر در آن است) را بیاب و اگر منفی شد کنارش بگذار.

نمونهٔ نهایی

نهایی شهریور ۱۴۰۳، سؤال ۸۱/۵ نمره

مقدار $m$ را چنان تعیین کنید که دایره به معادله $x^{۲} + y^{۲} + ۲ x - ۲ y + m = ۰$ با دایره به مرکز $O (۲, - ۳)$ و شعاع $۳$ مماس بیرون باشد.

مرکز دایرهٔ دارای پارامتر را از ضریب‌های $x$ و $y$ بخوان.۰/۲۵ نمره
$x^{۲} + y^{۲} + ۲ x - ۲ y + m = ۰ \Rightarrow O^{'} (- ۱, ۱)$
شعاع آن را با فرمول شعاع دایرهٔ ضمنی بنویس.۰/۲۵ نمره
$r^{'} = \frac{۱}{۲} ۲^{۲} + (- ۲)^{۲} - ۴ m = ۲ - m$
فاصلهٔ دو مرکز را حساب کن.۰/۲۵ نمره
$d = O O^{'} = (۲ + ۱)^{۲} + (- ۳ - ۱)^{۲} = ۵$
مماس خارج یعنی فاصلهٔ مرکزها برابر مجموع شعاع‌هاست.۰/۲۵ نمره
$r + r^{'} = d \Rightarrow ۳ + ۲ - m = ۵$
رادیکال را تنها کن و دو طرف را به توان دو برسان.۰/۵ نمره
$۲ - m = ۲ \Rightarrow ۲ - m = ۴ \Rightarrow m = - ۲$

دایرهٔ مماس بر دایرهٔ دیگر

ایده

نمونهٔ نهایی

همهٔ سؤال‌های این تیپ

امتحان نهایی ۵