تعریف بیضی و مجموع فاصله‌ها از کانون‌ها

نهایی: در ۶ امتحان از ۲۵، روی‌هم ۸ نمره

ایده

بیضی مکان هندسی نقاطی از صفحه است که مجموع فاصله‌هایشان از دو نقطهٔ ثابت $F$ و $F^{'}$ (کانون‌ها) مقدار ثابتی است و این مقدار از $F F^{'}$ بزرگ‌تر است. این مقدار ثابت همان طول قطر بزرگ، $۲ a$ ، است. پس برای هر نقطهٔ $M$ روی بیضی، فاصله‌های $M F$ و $M F^{'}$ را بنویس و مجموعشان را $۲ a$ بگذار.

M F + M F^{'} = ۲ a

نمونهٔ نهایی

نهایی دی ۱۴۰۱، سؤال ۸۱/۲۵ نمره

در یک بیضی مختصات کانون‌ها $F (۴, ۰)$ و $F^{'} (- ۲, ۰)$ و طول قطر بزرگ برابر با $۱۰$ است. اگر نقطه $P (۱, m)$ روی این بیضی قرار داشته باشد، مقدار $m$ را بیابید.

نقطهٔ $P$ روی بیضی است، پس مجموع فاصله‌هایش از دو کانون برابر قطر بزرگ است.۰/۲۵ نمره
$P F + P F^{'} = ۲ a$
فاصله‌ها را با مختصات بنویس و $۲ a = ۱۰$ را بگذار.۰/۵ نمره
$(۱ - ۴)^{۲} + m^{۲} + (۱ + ۲)^{۲} + m^{۲} = ۱۰ \Rightarrow ۹ + m^{۲} + ۹ + m^{۲} = ۱۰$
معادله را برای $m$ حل کن.۰/۵ نمره
$۹ + m^{۲} = ۵ \Rightarrow ۹ + m^{۲} = ۲۵ \Rightarrow m = \pm ۴$

همهٔ سؤال‌های این تیپ

امتحان نهایی ۷

۱ سؤال دیگر

نهایی خرداد ۱۳۹۸، سؤال ۹۱/۲۵ نمره