درون و بیرون بیضی

نهایی: در ۶ امتحان از ۲۵، روی‌هم ۴/۲۵ نمره

ایده

مجموع فاصله‌های نقطهٔ $M$ از دو کانون را با $۲ a$ مقایسه کن: برابر باشد، $M$ روی بیضی است؛ کوچک‌تر باشد، درون بیضی است؛ بزرگ‌تر باشد، بیرون بیضی است. برای اثبات، پاره‌خطی از $M$ به یک کانون بکش (یا امتداد بده) تا بیضی را در $D$ قطع کند، و نامساوی مثلثی را با $D F + D F^{'} = ۲ a$ بخوان.

نمونهٔ نهایی

نهایی شهریور ۱۴۰۳، سؤال ۱۰، بخش ب۱ نمره

ب)

نقطه $P$ بیرون بیضی با قطر بزرگ $A A^{'} = ۲ a$ و کانون‌های $F$ و $F^{'}$ مفروض است. ثابت کنید : $P F + P F^{'} > ۲ a$ (رسم شکل در پاسخ‌برگ الزامی است).

بیضی با قطر بزرگ A'A، کانون‌های F' و F و مرکز O؛ نقطهٔ P بیرون بیضی با پاره‌خط‌های PF' و PF

$P F^{'}$ را بکش تا بیضی را در $M$ قطع کند و شکل را در پاسخ‌برگ رسم کن.۰/۲۵ نمره
$P F^{'} = P M + M F^{'}$
در مثلث $P M F$ نامساوی مثلثی را برای ضلع $M F$ بنویس.۰/۲۵ نمره
$P F + P M > M F$
$M F^{'}$ را به دو طرف اضافه کن تا در سمت چپ $P M + M F^{'}$ به $P F^{'}$ تبدیل شود.۰/۲۵ نمره
$P F + P F^{'} P M + M F^{'} > M F + M F^{'}$
$M$ روی بیضی است، پس $M F + M F^{'} = ۲ a$ و حکم ثابت می‌شود.۰/۲۵ نمره
$P F + P F^{'} > ۲ a$

درون و بیرون بیضی

ایده

نمونهٔ نهایی

همهٔ سؤال‌های این تیپ

امتحان نهایی ۶