مکان هندسی ریشه‌ها: قواعد رسم، مکان ۰ درجه، نقاط چندگانه و تفسیر

1. تعریف و موارد کاربرد

برای یک حلقه با فیدبک واحد (یا حالت کلی) با تابع تبدیل حلقه‌باز $KG(s)H(s)$، قطب‌های حلقه‌بسته ریشه‌های معادلهٔ مشخصه‌اند:

مکان هندسی ریشه‌ها مجموعهٔ همهٔ نقاطی از صفحهٔ مختلط $s$ است که این ریشه‌ها با تغییر بهرهٔ حقیقی $K$ می‌پیمایند. مکان مثبت (یا $180^\circ$) برای $0 \le K < \infty$ و مکان مکمل (یا $0^\circ$) برای $-\infty < K \le 0$ رسم می‌شود. این روش ابزار استانداردی است برای آنکه در یک نگاه ببینیم یک پارامتر چگونه پاسخ گذرا (میرایی $\zeta$، فرکانس طبیعی $\omega_n$، زمان نشست) را تغییر می‌دهد و از همه مهم‌تر، سیستم چه زمانی ناپایدار می‌شود (عبور یک شاخه از محور $j\omega$).

تابع حلقه‌باز را به شکل قطب–صفر بنویسید،

با $n$ قطب محدود و $m$ صفر محدود (برای سیستم فیزیکی $n \ge m$). همهٔ قواعد زیر این شکل مونیک را فرض می‌کنند: هر عامل به‌صورت $(s - \text{root})$ با ضریب $+1$ برای $s$ نوشته می‌شود.

2. شرایط و قضایای کلیدی

2.1 ابتدا نرمال‌سازی کنید — کدام مکان است؟

انتخاب بین $180^\circ$ و $0^\circ$ را علامت بهرهٔ مؤثر پس از مونیک کردن تابع حلقه تعیین می‌کند، نه علامت حرف $K$. معادلهٔ مشخصه را به شکل

درآورید و علامت $K'$ را بخوانید:

عامل وارونه مشخصهٔ قطب‌ها و صفرهای نیم‌صفحهٔ راست (نامینیمم‌فاز) است: $(a - s) = -(s - a)$ ریشه‌ای در $s=+a$ قرار می‌دهد و علامت بهره را نیز عوض می‌کند.

2.2 شرط زاویه و شرط اندازه

نقطهٔ $s$ روی مکان مثبت ($K'>0$) قرار دارد اگر و تنها اگر در شرط زاویه صدق کند، و بهره در آن نقطه از شرط اندازه به دست می‌آید:

برای مکان مکمل ($K'<0$) شرط زاویه به $\angle G(s)H(s) = q\cdot 360^\circ$ (یعنی $0^\circ$) تبدیل می‌شود؛ در هر دو حالت $G(s)H(s)$ به شکل مونیک در نظر گرفته می‌شود.

2.3 قواعد رسم

با $q=0,1,\dots,n-m-1$. این دو مکان روی محور حقیقی مکمل یکدیگرند: روی هم کل محور را می‌پوشانند.

نقاط شکست (جدایی / ورود) (جایی که شاخه‌ها محور حقیقی را ترک می‌کنند یا دوباره به آن می‌پیوندند) از حل معادلهٔ زیر به دست می‌آیند:

این معادله برای هر دو مکان یکسان است؛ هر ریشهٔ حقیقی متعلق به مکانی است که پاره‌خطِ محور حقیقیِ دربرگیرندهٔ آن ریشه را در اختیار دارد (به‌طور معادل، علامت $K'$ را در آن ریشه بررسی کنید).

زاویهٔ خروج از قطب مختلط $p_k$ و زاویهٔ ورود به صفر مختلط $z_k$ (مکان $180^\circ$):

برای مکان $0^\circ$ در هر دو فرمول، $180^\circ$ ابتدایی را با $0^\circ$ جایگزین کنید.

محل تقاطع با محور $j\omega$ (مرز پایداری) از جدول راث–هرویتز یا با جای‌گذاری $s = j\omega$ در معادلهٔ مشخصه و حل هم‌زمان قسمت‌های حقیقی و موهومی برای $\omega$ و $K$ بحرانی به دست می‌آید. اگر این دو معادله جواب حقیقی $\omega$ به ازای هیچ $K$ مجازی نداشته باشند، مکان هرگز محور را قطع نمی‌کند. برای چندجمله‌ای درجهٔ سه $s^{3}+a_2s^{2}+a_1s+a_0$ راه میان‌بر چنین است: پایدار است اگر و تنها اگر همهٔ ضرایب مثبت باشند و $a_2a_1>a_0$؛ تقاطع در $a_0=a_2a_1$ با $\omega=\sqrt{a_1}$ رخ می‌دهد.

2.4 مجموع قطب‌های حلقه‌بسته

با بسط $\prod_i(s-p_i) + K'\prod_j(s-z_j)=0$ و خواندن ضریب $s^{n-1}$:

دو کاربرد دارد. (i) برای $n-m\ge 2$، حرکت شاخه‌ها به سمت چپ باید با حرکت شاخه‌هایی به سمت راست جبران شود. (ii) اگر این مجموع مثبت باشد، دست‌کم یک قطب حلقه‌بسته در نیم‌صفحهٔ راست قرار دارد — حکم فوری ناپایداری (برای $n-m=1$ و $K'<0$ مجموع $\sum_i p_i + \lvert K'\rvert$ بدون کران رشد می‌کند).

2.5 ریشه‌های چندگانه: محل تلاقی چند شاخه

معادلهٔ مشخصه را به شکل $D(s) + K N(s) = 0$ بنویسید، به‌طوری که $K(s) = -D(s)/N(s)$. حلقهٔ بسته ریشه‌ای با چندگانگی $r$ در $s_0$ دارد اگر و تنها اگر

و $K(s_0)$ حقیقی و دارای علامت مجاز باشد. در چنین نقطه‌ای $r$ شاخه وارد و $r$ شاخه خارج می‌شوند؛ جهت‌های ورود $360^\circ/r$ از هم فاصله دارند، جهت‌های خروج نیز $360^\circ/r$ از هم فاصله دارند و جهت‌های ورود و خروجِ مجاور به اندازهٔ

از یکدیگر جدا هستند. بنابراین یک نقطهٔ شکست معمولی ($r=2$) با زاویهٔ $90^\circ$ محور حقیقی را ترک می‌کند و در یک نقطهٔ سه‌گانه ($r=3$) شاخه‌های خروجی با زاویهٔ $60^\circ$ نسبت به شاخه‌های ورودی خارج می‌شوند. بیان جبری معادل: در بهرهٔ $K^{*}=K(s_0)$ چندجمله‌ای مشخصه شامل عامل $(s-s_0)^{r}$ است.

3. روش (گام به گام)

1. نرمال‌سازی. همهٔ عامل‌ها را مونیک کنید، تمام علامت‌های منفی (عامل‌های وارونه، فیدبک مثبت، $K$ منفی) را در یک بهرهٔ مؤثر $K'$ جمع کنید و بین $180^\circ$ و $0^\circ$ تصمیم بگیرید.
2. تجزیه به قطب‌های $p_i$ و صفرهای $z_j$؛ $n$ و $m$ را یادداشت کنید. قطب‌ها را با $\times$ و صفرها را با $\circ$ علامت بزنید.
3. پاره‌خط‌های محور حقیقی — قاعدهٔ تعداد فرد در سمت راست ($180^\circ$) یا قاعدهٔ تعداد زوج ($0^\circ$).
4. مجانب‌ها — $n-m$ زاویهٔ $\theta_a$ و تنها مرکز ثقل $\sigma_a$ را محاسبه کنید؛ آن‌ها را از $\sigma_a$ رسم کنید.
5. نقاط شکست (جدایی/ورود) — معادلهٔ $dK/ds=0$ را حل کنید؛ فقط ریشه‌هایی را نگه دارید که روی یک پاره‌خط معتبر محور حقیقی قرار دارند (و علامت $K'$ در آن‌ها مجاز است).
6. زاویه‌های خروج/ورود در قطب‌ها/صفرهای مختلط.
7. تقاطع با $j\omega$ — راث یا جای‌گذاری $s=j\omega$ بهرهٔ مرزی $K_{\text{cr}}$ و فرکانس $\omega_{\text{cr}}$ را می‌دهد؛ این حد پایداری است. با قاعدهٔ مجموع قطب‌ها صحت‌سنجی کنید.
8. سرهم کردن شاخه‌ها با رعایت تقارن، و خواندن نقطهٔ طراحی ($\zeta$، $\omega_n$، قطب‌های غالب) و بهرهٔ آن از شرط اندازه.

4. مثال‌های کوتاه حل‌شده

4.1 یک رسم استاندارد $180^\circ$

مکان مثبت $KG(s) = \dfrac{K}{s(s+2)(s+4)}$ را رسم کنید.

• قطب‌ها/صفرها: $p = \{0,-2,-4\}$، بدون صفر محدود، پس $n=3$، $m=0$، که $3$ شاخه می‌دهد و همه $\to\infty$.
• محور حقیقی: پاره‌خط‌های $[-2,0]$ و $(-\infty,-4]$ (تعداد فرد در سمت راست).
• مجانب‌ها: زاویه‌ها $\theta_a = \dfrac{180^\circ}{3},\dfrac{540^\circ}{3},\dfrac{900^\circ}{3} = 60^\circ,180^\circ,300^\circ$؛ مرکز ثقل $\sigma_a = \dfrac{0-2-4}{3} = -2$.
• نقطهٔ شکست روی $[-2,0]$: $\dfrac{1}{s}+\dfrac{1}{s+2}+\dfrac{1}{s+4}=0 \Rightarrow 3s^2+12s+8=0 \Rightarrow s = -0.845$ (ریشهٔ $-3.15$ روی پاره‌خط معتبری نیست).
• تقاطع با $j\omega$: معادلهٔ مشخصه $s^3+6s^2+8s+K=0$ است؛ راث پایداری مرزی را هنگامی می‌دهد که $6\cdot 8 = K$، یعنی $K_{\text{cr}}=48$ در $\omega=\sqrt{8}\approx 2.83\,$rad/s.

پس دو شاخه در نزدیکی $s=-0.845$ از محور جدا می‌شوند، به سمت مجانب‌های $60^\circ/300^\circ$ خم می‌شوند و در $K=48$ وارد نیم‌صفحهٔ راست می‌شوند: حلقه برای $0<K<48$ پایدار است.

4.2 یک علامت پنهان: مکان $0^\circ$ با $K>0$

فیدبک منفی، $GH(s) = \dfrac{K(s+3)}{s(2-s)}$، $K\ge 0$.

• نرمال‌سازی: $2-s=-(s-2)$، پس $GH = -\dfrac{K(s+3)}{s(s-2)}$ و $K'=-K<0$: این یک مکان $0^\circ$ با قطب‌های $0,\,+2$ و صفر $-3$ است.
• محور حقیقی (تعداد زوج در سمت راست): $s>2$ (تعداد $0$) و $-3<s<0$ (تعداد $2$) روی مکان هستند؛ $0<s<2$ و $s<-3$ نیستند.
• مجانب: $n-m=1$، زاویه $0^\circ$ — شاخهٔ آغازشده از $+2$ به $+\infty$ می‌رود؛ شاخهٔ آغازشده از $0$ به سمت چپ تا صفرِ واقع در $-3$ می‌رود. نقطهٔ شکستی وجود ندارد.
• بررسی: معادلهٔ مشخصه $s(s-2)-K(s+3)=s^{2}-(2+K)s-3K=0$ است. حاصل‌ضرب ریشه‌ها $-3K<0$ و مجموع آن‌ها $2+K=\sum p_i-K'$ است، پس به ازای هر $K>0$ یک قطب در نیم‌صفحهٔ راست قرار دارد: هرگز پایدار نیست.

اگر همین تابع با بی‌دقتی به‌صورت مکان $180^\circ$ خوانده شود، پاره‌خط‌های $(0,2)$ و $s<-3$، یک کمان دایره‌ای حول صفر و نتیجهٔ نادرست «پایدار برای $K>2$» به دست می‌آید.

4.3 مکانی که فقط از خطوط راست ساخته شده است

$KG(s)=\dfrac{K}{s(s+2)(s^{2}+2s+2)}$، فیدبک منفی. چون $s(s+2)(s^{2}+2s+2)=(s+1)^{4}-1$، معادلهٔ مشخصه چنین است:

• $0\le K<1$: چهار ریشه $-1+\rho\,e^{jq\,90^\circ}$ با $\rho=(1-K)^{1/4}$ هستند — آن‌ها روی محور حقیقی و روی خط قائم $\mathrm{Re}(s)=-1$ از قطب‌های $0,\,-2,\,-1\pm j$ به سمت $s=-1$ می‌لغزند.
• $K=1$: یک ریشهٔ چهارگانه در $s=-1$ (مرکز ثقل).
• $K>1$: ریشه‌ها $-1+\rho\,e^{\pm j45^\circ},\,-1+\rho\,e^{\pm j135^\circ}$ با $\rho=(K-1)^{1/4}$ هستند — آن‌ها دقیقاً در امتداد چهار مجانب خارج می‌شوند که نسبت به جهت‌های ورود به اندازهٔ $180^\circ/4=45^\circ$ چرخیده‌اند.
• حد پایداری: نیم‌خط‌های $\pm45^\circ$ هنگامی به محور $j\omega$ می‌رسند که $\rho=\sqrt{2}$، یعنی $K=1+(\sqrt2)^{4}=5$، در $s=\pm j1$. برای $0<K<5$ پایدار است (راث روی $s^{4}+4s^{3}+6s^{2}+4s+K$ همین نتیجه را می‌دهد).

5. گونه‌های رایج و حالت‌های خاص

• مکان هندسی ریشه‌های مکمل. از ستون $0^\circ$ جدول قواعد استفاده کنید: نقاط محور حقیقی باید تعداد زوجی قطب+صفر در سمت راست خود داشته باشند و زاویهٔ مجانب‌ها $\theta_a = q\cdot 360^\circ/(n-m)$ می‌شود، پس همواره یک مجانب در امتداد محور حقیقی مثبت قرار دارد. شاخه‌ها می‌توانند بی‌درنگ به نیم‌صفحهٔ راست بروند، از این رو بهرهٔ مؤثر منفی اغلب ناپایدارکننده است.
• تعداد برابر قطب و صفر ($n=m$). مجانبی به بی‌نهایت وجود ندارد — هر شاخه به یک صفر محدود ختم می‌شود.
• مکان‌های دایره‌ای. با دو قطب و یک صفر (صفر روی محور حقیقی بیرون از زوج قطب‌ها، یا قطب‌های مختلط) بخشِ خارج از محورِ مکان دقیقاً یک دایره به مرکز صفر با شعاع $\sqrt{\lvert z-p_1\rvert\,\lvert z-p_2\rvert}$ است. با دو صفر و یک قطب، دایره‌ای به مرکز قطب با شعاع $\sqrt{\lvert p-z_1\rvert\,\lvert p-z_2\rvert}$ است.
• مکان‌های خط قائم. دو قطب و بدون صفر ($n-m=2$): مجموع قطب‌ها ثابت است، پس پس از جدایی، زوج مختلط روی خط قائم $\mathrm{Re}(s)=\sigma_a=\tfrac{1}{2}(p_1+p_2)$ حرکت می‌کند. این عضو $n=2$ از خانوادهٔ زیر است.
• مکان‌های خط راست (ستاره‌ای). اگر حلقه صفر محدود نداشته باشد و مخرج آن یک توان کامل انتقال‌یافته باشد، $D(s)=(s+a)^{n}-K_0$، معادلهٔ مشخصه چنین است:

و همهٔ قطب‌های حلقه‌بسته روی نیم‌خط‌های راستِ گذرنده از مرکز ثقل $s=-a$ قرار دارند:

مکان بر مجانب‌های خودش منطبق است. آزمون تشخیص برای چندجمله‌ای درجهٔ سه $s^{3}+a_2s^{2}+a_1s+a_0+K$: این عبارت یک مکعب کامل به‌علاوهٔ یک ثابت است اگر و تنها اگر $a_2^{2}=3a_1$، و در این صورت $a=a_2/3$ و $K_0=a^{3}-a_0$. از دید هندسی، قطب‌های حلقه‌باز با فاصله‌های مساوی روی دایره‌ای به مرکز مرکز ثقل قرار دارند. برای $a>0$ و $n\ge 3$ حلقهٔ بسته دقیقاً به ازای

پایدار است؛ حد پایین متناظر با رسیدن نیم‌خط حقیقی به مبدأ و حد بالا متناظر با رسیدن نیم‌خط‌های $\pm180^\circ/n$ به محور $j\omega$ است.

• به دست آوردن تابع تبدیل از روی یک مکان داده‌شده (مسئلهٔ معکوس). ضربدرها و دایره‌ها قطب‌ها و صفرها را می‌دهند، تعداد مجانب‌ها $n-m$ را می‌دهد و محل تلاقی مجانب‌ها $\sigma_a$ را. هر مختصات مجهول قطب/صفر با یک نقطهٔ خاص تعیین می‌شود: اگر $r$ شاخه در $s_0$ به هم برسند، شرط $D(s)+K^{*}N(s)=(s-s_0)^{r}\,Q(s)$ را اعمال و ضرایب را برابر قرار دهید. مثال: یک مکانِ بدون صفر قطب‌هایی در $0$ و $-4.5\pm j\beta$ دارد و هر سه شاخه در $s=-3$ به هم می‌رسند. آنگاه $s\left(s^{2}+9s+20.25+\beta^{2}\right)+K^{*}=(s+3)^{3}=s^{3}+9s^{2}+27s+27$، پس $\beta^{2}=6.75$ ($\beta\approx2.60$)، $K^{*}=27$ و $G(s)=\dfrac{K}{s(s^{2}+9s+27)}$. بررسی: $\sigma_a=(0-4.5-4.5)/3=-3$.
• بهترین خطای حالت ماندگارِ دست‌یافتنی. ثابت‌های خطا ($K_p$، $K_v$، $K_a$) با بهره متناسب‌اند، پس خطای حالت ماندگار با افزایش $K$ به‌طور یکنوا کاهش می‌یابد — اما قضیهٔ مقدار نهایی فقط درون بازهٔ بهرهٔ پایدار برقرار است. بنابراین کوچک‌ترین خطای قابل حصول، مقدار آن در حد پایداری $K_{\text{cr}}$ است (یک اینفیمم: در خودِ $K_{\text{cr}}$ حلقه نوسان می‌کند). در ادامهٔ مثال: $K_v=\lim_{s\to0}sG(s)=K/27$، راث $0<K<9\cdot27=243$ را می‌دهد، پس برای ورودی شیب $2t\,u(t)$ خطا $e_{ss}=2/K_v=54/K>54/243=2/9\approx0.22$ است.
• پارامتری غیر از بهره. هر پارامتر منفرد $\alpha$ را می‌توان بررسی کرد: معادلهٔ مشخصه را به‌صورت جبری به شکل $1 + \alpha\,\tilde{G}(s) = 0$ بازآرایی کنید و مکان $\tilde{G}$ را رسم کنید.

تلهٔ رایج: قواعد $180^\circ$ مربوط به بهرهٔ مؤثر مثبت روی عامل‌های مونیک است، نه مربوط به «$K>0$». مخرجی مانند $s(1-s)$ یا $(2-s)(s+1)$، یا یک حلقهٔ فیدبک مثبت، بی‌سروصدا یک مسئلهٔ $K>0$ را به مکان $0^\circ$ تبدیل می‌کند — قاعدهٔ محور حقیقی را به «تعداد زوج در سمت راست» برگردانید و مجانب‌ها را از $q\cdot360^\circ/(n-m)$ دوباره محاسبه کنید. همچنین هرگز برای بهره‌ای خارج از بازهٔ پایدار، خطای حالت ماندگار اعلام نکنید.

نکتهٔ کنکوری: پیش از هر رسمی، $n-m$ را به دست آورید — این مقدار تعداد مجانب‌ها و زاویه‌های آن‌ها را مشخص می‌کند ($\pm60^\circ$ و $180^\circ$، یعنی با فاصلهٔ $120^\circ$ از هم، برای $n-m=3$؛ و قائم در $\pm 90^\circ$ برای $n-m=2$) که به‌تنهایی معمولاً بیشتر شکل‌های گزینه‌ها را حذف می‌کند. سپس، هرگاه $n-m\ge 2$ باشد، به ضریب $s^{n-1}$ چندجمله‌ای مشخصه نگاه کنید (این ضریب به بهره بستگی ندارد): مثبت بودن مجموع قطب‌ها، $\sum_i p_i>0$، یعنی «ناپایدار به ازای هر بهره»، بدون هیچ رسمی. برای $n-m=1$ این مجموع برابر $\sum_i p_i-K'$ است و باید به ازای هر بهره جداگانه بررسی شود. و هرگاه ضرایب دوجمله‌ای به نظر رسیدند ($1,3,3$ یا $1,4,6,4$، مقیاس‌شده با توان‌های $a$)، توان را کامل کنید — کل مکان خطوط راستی است که از $s=-a$ می‌گذرند.