پاسخ فرکانسی: نمودارهای بوده، حاشیه‌های پایداری و نایکوئیست

۱. ایدهٔ اصلی

برای یک حلقهٔ خطیِ تغییرناپذیر با زمان، تابع تبدیل حلقه‌باز را روی محور موهومی محاسبه کنید: $L(j\omega)=G(j\omega)H(j\omega)$. این تابع مختلط از فرکانس همان پاسخ فرکانسی است و کل داستان پایداری و عملکرد حلقهٔ بسته را در خود دارد، بی‌آنکه لازم باشد چندجمله‌ای مشخصهٔ حلقه‌بسته تجزیه شود. دو نمایش ترسیمی رایج‌تر از بقیه‌اند:

• نمودار بوده — دو منحنی برحسب $\log_{10}\omega$: لگاریتم اندازه $20\log_{10}|L(j\omega)|$ برحسب دسی‌بل، و فاز $\angle L(j\omega)$ برحسب درجه. سهم عامل‌های متوالی با هم جمع می‌شود، بنابراین مجانب‌های خط‌راست رسم و خواندن آن را سریع می‌کنند.
• نمودار نایکوئیست — مکان هندسی قطبیِ یکتای $L(j\omega)$ که در صفحهٔ مختلط با تغییر $\omega:0\to\infty$ پیموده می‌شود (و قرینهٔ آن برای $\omega<0$). تعداد دورهای آن حول نقطهٔ بحرانی $-1$ پایداری مطلق را تعیین می‌کند.

دستاورد این روش پایداری نسبی است: نه فقط اینکه حلقهٔ بسته پایدار هست یا نه، بلکه چه مقدار بهره یا فاز می‌توان افزود پیش از آنکه ناپایدار شود — یعنی حاشیهٔ بهره (GM) و حاشیهٔ فاز (PM). این حاشیه‌ها میرایی گذرا، فراجهش و مقاوم‌بودن طرح را تعیین می‌کنند و دقیقاً همان کمیت‌هایی هستند که جبران‌سازها (پیش‌فاز/پس‌فاز، PID) بر اساس آن‌ها تنظیم می‌شوند.

همین تابع یک معنای فیزیکی مستقیم هم دارد: یک سیستم LTI پایدار که با یک سینوسی تحریک شود، به یک سینوسی با همان فرکانس می‌نشیند که دامنه‌اش در اندازهٔ تابع تبدیل در آن فرکانس ضرب و فازش به اندازهٔ فاز تابع تبدیل جابه‌جا شده است. برای یک حلقهٔ فیدبک، تابع تبدیل مربوط تابع حلقه‌بسته $T=L/(1+L)$ است، نه بهرهٔ حلقه.

کاربردها: تحلیل پایداری با فیدبک واحد و غیرواحد، انتخاب بهره از روی مشخصهٔ حاشیه، پاسخ حالت ماندگار سینوسی حلقه‌بسته، انتخاب کنترل‌کننده، حساسیت/مقاوم‌بودن، و شناسایی سیستم از روی داده‌های اندازه‌گیری‌شدهٔ بوده.

۲. فرمول‌ها و قضیه‌های کلیدی

فرکانس‌های گذر. دو فرکانس مرجع که هر حاشیه‌ای بر آن‌ها تکیه دارد:

حاشیه‌های پایداری (که در فرکانس گذرِ دیگر اندازه‌گیری می‌شوند):

یک حلقهٔ کمینه‌فاز هنگامی با حاشیه‌های مثبت پایدار است که $\omega_{gc}<\omega_{pc}$ باشد: تا زمانی که فاز به $-180^\circ$ برسد، بهره از پیش به زیر $0$ dB رفته است.

بیشینهٔ بهرهٔ پایدارساز. برای یک بهرهٔ خالص $k$ (که اندازه را جابه‌جا می‌کند ولی به فاز دست نمی‌زند)، حلقهٔ بسته هنگامی به مرز پایداری می‌رسد که $k\,|L(j\omega_{pc})|=1$ شود، پس

بهره برای یک حاشیهٔ فاز مشخص. بنویسید $L(s)=K\,L_0(s)$ با $K>0$. فاز به $K$ بستگی ندارد، پس مشخصهٔ خواسته‌شده ابتدا فرکانس گذر و سپس بهره را تعیین می‌کند:

برای حلقهٔ رایج $L=\dfrac{K}{s(s+a)}$ این رابطه به $\omega_{gc}=a\tan\left(90^\circ-\text{PM}\right)$ و $K=\omega_{gc}\sqrt{\omega_{gc}^{2}+a^{2}}$ تبدیل می‌شود.

پاسخ حالت ماندگار سینوسی. اگر همهٔ قطب‌های تابع تبدیل $T(s)$ در نیم‌صفحهٔ چپِ باز باشند، آنگاه

فرکانس خروجی همواره همان فرکانس ورودی $\omega_0$ است. برای یک حلقهٔ فیدبک از تابع حلقه‌بسته استفاده کنید

و ابتدا پایداری حلقه‌بسته را بررسی کنید — اگر $T$ قطبی در نیم‌صفحهٔ راست یا روی محور $j\omega$ داشته باشد، هیچ حالت ماندگار سینوسی وجود ندارد. برای حلقه‌بستهٔ مرتبه‌دومِ متعارف که دقیقاً در فرکانس طبیعی خود تحریک شود،

شیب مجانب‌های بوده. هر عامل یک مجانب مستقل اضافه می‌کند؛ در نزدیکی فرکانس گوشهٔ $\omega_c$:

یک عاملِ نیم‌صفحهٔ راست همان اندازهٔ تصویر آینه‌ای خود در نیم‌صفحهٔ چپ و فازِ مخالف آن را دارد. اگر عامل با قرارداد علامت دیگر، یعنی $(s-\omega_c)$ یا $1/(s-\omega_c)$، نوشته شود، یک مقدار ثابت اضافیِ $\pm180^\circ$ به همراه دارد.

عامل‌های تمام‌گذر. جفت‌کردن یک ریشه با تصویر آینه‌ای‌اش در همهٔ فرکانس‌ها اندازهٔ واحد و یک تغییر فاز خالصِ $180^\circ$ به مرکز $\omega_0$ می‌دهد:

پس منحنی اندازه‌ای که هیچ گوشه‌ای ندارد ولی فاز در آن $180^\circ$ تغییر می‌کند، نشانهٔ یک جفت تمام‌گذر است: فازِ نزولی یعنی صفر نیم‌صفحهٔ راست، و فازِ صعودی یعنی قطب نیم‌صفحهٔ راست (یک سیستم ناپایدارِ حلقه‌باز، $P\ge1$).

معیار نایکوئیست. با $P$ = تعداد قطب‌های حلقه‌بازِ $L(s)$ در نیم‌صفحهٔ راست و $N$ = تعداد دورهای ساعتگردِ مکان کاملِ نایکوئیست حول نقطهٔ $-1$،

که در آن $Z$ تعداد قطب‌های حلقه‌بسته در نیم‌صفحهٔ راست است. پایداری حلقه‌بسته $\iff Z=0$، یعنی $N=-P$: یک حلقهٔ ناپایدارِ حلقه‌باز تنها هنگامی پایدار می‌شود که مکان هندسی نقطهٔ بحرانی را $P$ بار پادساعتگرد دور بزند.

بهرهٔ متغیر و نقطهٔ بحرانی $-1/K$. برای $L(s)=K\,L_0(s)$، مکان هندسی $L_0$ را یک بار رسم کنید و به‌جای رسم دوبارهٔ منحنی، نقطهٔ بحرانی را جابه‌جا کنید:

دورهای حول $-1/K$ را بشمارید: برای $K>0$ این نقطه روی محور حقیقی منفی می‌لغزد ($K$ بزرگ $\to$ نزدیک مبدأ، $K$ کوچک $\to$ دورِ سمت چپ)؛ برای $K<0$ روی محور حقیقی مثبت قرار می‌گیرد. هر تقاطع مکان هندسی با محور حقیقی در $-a$ یک مرز پایداری در $K=1/a$ است.

بستن مکان هندسی در بی‌نهایت (قطب‌های واقع در مبدأ). اگر در نزدیکی $s=0$ داشته باشیم $L(s)\approx c_0/s^{N}$ با $c_0=\lim_{s\to0}s^{N}L(s)$، فرورفتگی کوچک $s=\varepsilon e^{j\theta}$، $\theta:-90^\circ\to+90^\circ$، نگاشته می‌شود به

کمانی با شعاع بی‌نهایت که به اندازهٔ $180^\circ N$ به‌صورت ساعتگرد می‌چرخد، سرِ $\omega=0^{-}$ مکان هندسی را به سرِ $\omega=0^{+}$ وصل می‌کند و از راستای $\angle c_0$ می‌گذرد — نیم‌صفحهٔ راست هنگامی که $c_0>0$ و $N=1$، و نیم‌صفحهٔ چپ هنگامی که $c_0<0$ (چنان‌که وقتی یک قطب نیم‌صفحهٔ راست علامت بهرهٔ فرکانس‌پایین را وارون می‌کند رخ می‌دهد).

گذر مکان هندسی از یک نقطهٔ معین. مکان نایکوئیست از نقطهٔ $p$ می‌گذرد اگر و تنها اگر برای یک $\omega$ حقیقی داشته باشیم $L(j\omega)=p$. برای $p=-1$ این همان $1+L(j\omega)=0$ است: یک قطب حلقه‌بسته روی محور $j\omega$ قرار دارد (پایداری مرزی). با $L=K\,L_0$،

پاسخ فرکانسیِ حقیقی‌مقدار. اگر $L(s)$ تنها تابعی از $s^{2}$ باشد (صورت و مخرج هر دو نسبت به $s$ زوج باشند)، آنگاه جایگذاری $s^{2}=-\omega^{2}$ نشان می‌دهد که $L(j\omega)$ به ازای هر $\omega$ حقیقی است: کل مکان نایکوئیست روی محور حقیقی قرار می‌گیرد و پرسش‌های مربوط به آن به پرسش‌هایی دربارهٔ بُرد یک تابع گویای حقیقی از $x=\omega^{2}\ge0$ تبدیل می‌شوند.

رابطهٔ بهره–فاز بوده. برای یک سیستم کمینه‌فاز اندازه و فاز مستقل از هم نیستند؛ به‌طور مجانبی

بنابراین شیب $-20$ dB/dec در $\omega_{gc}$ به معنای فازِ $\approx-90^\circ$ است، یعنی $\text{PM}\approx90^\circ$؛ و گذر با شیب $-40$ dB/dec به معنای $\approx-180^\circ$ است، یعنی پایداری مرزی. به همین دلیل شیب در گذر بهره شاخص سریعِ پایداری نسبی است.

پیوند با سیستم مرتبه‌دوم (هدف‌های طراحی). برای حلقه‌بستهٔ متعارف $\dfrac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2}$،

۳. روش — خواندن پایداری از روی پاسخ فرکانسی

1. بهرهٔ حلقه را تشکیل دهید: $L(j\omega)=G(j\omega)H(j\omega)$ و اگر قصد رسم دارید، قطب‌ها و صفرهای آن را فهرست کنید تا فرکانس‌های گوشه و شیب فرکانس‌پایین مشخص شود (نوع سیستم $N$ = تعداد قطب‌های واقع در مبدأ).
2. $\omega_{pc}$ را از روی منحنی فاز بیابید (جایی که $\angle L=-180^\circ$ یا مضرب فردی از آن است)، سپس اندازه را در آنجا بخوانید تا $\text{GM}=-|L(j\omega_{pc})|_{\text{dB}}$ به دست آید.
3. $\omega_{gc}$ را از روی منحنی اندازه بیابید (جایی که $0$ dB است)، سپس فاز را در آنجا بخوانید تا $\text{PM}=180^\circ+\angle L(j\omega_{gc})$ به دست آید.
4. دربارهٔ پایداری داوری کنید. کمینه‌فاز، بدون قطب نیم‌صفحهٔ راست، با گذرهای یکتا: پایدار $\iff$ هر دو حاشیه مثبت $\iff \omega_{gc}<\omega_{pc}$. در غیر این صورت به شمارش نایکوئیست $Z=N+P$ برگردید — این کار برای حلقه‌های ناپایدارِ حلقه‌باز، غیرکمینه‌فاز یا پایدارِ مشروط ضروری است، زیرا در آن‌ها میان‌بُرِ حاشیه‌ها می‌تواند حکم نادرست بدهد.
5. در پرسش مربوط به بهره، به یاد داشته باشید که یک اسکالر $k$ فقط اندازه را جابه‌جا می‌کند: $\omega_{pc}$ ثابت است و $k_{\max}=1/|L(j\omega_{pc})|$. برای مشخصهٔ حاشیه مسیر را وارونه بروید: شرط فاز $\angle L_0(j\omega_{gc})=-180^\circ+\text{PM}$ را برای $\omega_{gc}$ حل کنید، سپس $K=1/|L_0(j\omega_{gc})|$ را قرار دهید.
6. برای شناسایی از روی نمودار، شیب‌های مجانبی را بشمارید تا تعداد قطب‌ها و صفرها و مرتبهٔ تکرار در مبدأ مشخص شود؛ سپس از فاز برای تفکیک عامل‌های نیم‌صفحهٔ چپ از نیم‌صفحهٔ راست استفاده کنید. کل تغییر فاز را با آنچه شیب‌های اندازه اجازه می‌دهند مقایسه کنید: هر پس‌فازِ مازاد یک صفر نیم‌صفحهٔ راست یا یک تأخیر است، و فازی که در جایی که اندازه یک قطب نشان می‌دهد (یا اصلاً گوشه‌ای نشان نمی‌دهد) بالا می‌رود یک قطب نیم‌صفحهٔ راست است.
7. برای انتخاب جبران‌ساز، تشخیص دهید چه چیزی کم است — شیبِ بیش از حد تند در $\omega_{gc}$ پایین $\Rightarrow$ برای فاز، پیش‌فاز/مشتق‌گیر اضافه کنید؛ بهرهٔ فرکانس‌پایینِ ضعیف / خطای حالت ماندگار $\Rightarrow$ پس‌فاز/انتگرال‌گیر اضافه کنید؛ از پیش پایدار با حاشیهٔ بسیار بزرگ $\Rightarrow$ یک بهرهٔ خالص کافی است.
8. برای پاسخ حالت ماندگار به یک سینوسی: (i) هر بهرهٔ مجهول را از روی مشخصهٔ داده‌شده تعیین کنید؛ (ii) تابع حلقه‌بستهٔ $T(s)$ را بسازید و پایداری آن را تأیید کنید؛ (iii) $T(j\omega_0)$ را در فرکانس ورودی محاسبه کنید — هنگامی که $\omega_0$ برابر $\omega_n$ است به دنبال حذف‌شدن جمله‌ای در مخرج باشید؛ (iv) دامنه را در $|T|$ ضرب کنید و $\angle T$ را به فاز بیفزایید و برای تطبیق با شکل گزینه‌ها از $\sin(\theta-90^\circ)=-\cos\theta$ استفاده کنید.
9. برای بازهٔ پایداری $K$ به روش نایکوئیست: (i) $P$ را بشمارید؛ (ii) تقاطع‌های $L_0(j\omega)$ با محور حقیقی را با قراردادن $\operatorname{Im}L_0=0$ بیابید؛ (iii) ابتدا ($\omega\to0^{+}$) و انتهای ($\omega\to\infty$) مکان هندسی را بیابید، آن را برای $\omega<0$ قرینه کنید و با کمان بی‌نهایت ببندید؛ (iv) برای هر بازه از محور حقیقی که $-1/K$ می‌تواند در آن قرار گیرد، $N$ را بشمارید و $Z=N+P$ را محاسبه کنید؛ (v) بازه‌هایی را که در آن‌ها $Z=0$ است به $K$ برگردانید. با معیار راث–هرویتز روی $1+KL_0=0$ درستی‌آزمایی کنید.
10. برای پرسش «آیا مکان هندسی از یک نقطه می‌گذرد»: قرار دهید $L(j\omega)=p$، $K$ را به‌صورت تابعی از $\omega$ (یا از $x=\omega^{2}$) به دست آورید و بُرد آن تابع را روی فرکانس‌های مجاز بیابید — بازه به بازه میان تغییر علامت‌ها و مجانب‌های قائم آن، با بررسی مقادیر انتهایی، حدها و نقاط ایستای درونی.

۴. مثال‌های کوتاهِ حل‌شده

الف. بهره برای یک حاشیهٔ بهرهٔ هدف

$L(s)=\dfrac{k}{s(1+s)(1+0.1s)}$ را در نظر بگیرید (یک حلقهٔ نوع ۱ با گوشه‌هایی در $\omega=1$ و $\omega=10$) و بهرهٔ $k$ را بیابید که $\text{GM}=6$ dB بدهد.

گذر فاز. با $\angle L(j\omega)=-90^\circ-\arctan\omega-\arctan(0.1\omega)=-180^\circ$ باید $\arctan\omega+\arctan(0.1\omega)=90^\circ$ باشد، یعنی دو زاویهٔ آرک‌تانژانت متمم یکدیگرند، که نتیجه می‌دهد $\omega\cdot0.1\omega=1\Rightarrow\omega_{pc}=\sqrt{10}\approx3.16$ rad/s.

اندازه در $\omega_{pc}$ (با $k=1$):

پس در $k=1$ حاشیهٔ بهره $\text{GM}=11\ (\approx 20.8\text{ dB})$ است. برای کاهش حاشیه به مقدار هدف $6$ dB $=$ نسبت $2$، بهره را بالا ببرید:

گذر فاز هرگز جابه‌جا نشد (بهره به فاز دست نمی‌زند)؛ فقط جایگاه عمودی منحنی اندازه تغییر کرد و فاصلهٔ آزاد تا $0$ dB را دقیقاً از $20.8$ dB به $6$ dB کاهش داد.

ب. بهره از روی مشخصهٔ حاشیهٔ فاز و سپس پاسخ سینوسی حلقه‌بسته

یک حلقه با فیدبک واحد دارای $L(s)=\dfrac{K}{s(s+2)}$ است و باید $\text{PM}=60^\circ$ داشته باشد. خروجی حالت ماندگار را برای $r(t)=3\sin 2t$ بیابید.

بهره. $\angle L=-90^\circ-\tan^{-1}(\omega/2)=-120^\circ$ نتیجه می‌دهد $\tan^{-1}(\omega_{gc}/2)=30^\circ$، پس $\omega_{gc}=\dfrac{2}{\sqrt3}$. آنگاه

حلقهٔ بسته. $T(s)=\dfrac{8/3}{s^{2}+2s+8/3}$ — همهٔ ضرایب مثبت‌اند، پس پایدار است و حالت ماندگار وجود دارد.

محاسبه در $\omega_0=2$.

خروجی.

اگر ورودی به‌جای آن در $\omega_n=\sqrt{8/3}$ بود، بخش حقیقی مخرج صفر می‌شد و پاسخ برابر $\dfrac{1}{2\zeta}=\dfrac{\omega_n}{2}\approx0.816$ برابرِ دامنهٔ ورودی با دقیقاً $-90^\circ$ فاز می‌بود — سینوس وارد می‌شود، منفیِ کسینوس خارج می‌شود.

ج. بازهٔ پایداری یک حلقهٔ ناپایدارِ حلقه‌باز به روش نایکوئیست

فرض کنید $L(s)=K\,L_0(s)$ با $L_0(s)=\dfrac{s+3}{s(s-1)}$؛ در اینجا $P=1$ و یک قطب در مبدأ وجود دارد.

مکان هندسی. با گویاکردن،

• $\omega\to0^{+}$: $\operatorname{Re}\to-4$، $\operatorname{Im}\to+\infty$ — مکان هندسی از بالا، در نیم‌صفحهٔ چپ آغاز می‌شود.
• $\operatorname{Im}=0$ در $\omega=\sqrt3$، که در آن $L_0=-1$: تنها تقاطع با محور حقیقی، $a=1$.
• $\omega\to\infty$: مکان هندسی از پایین وارد مبدأ می‌شود (فاز $-90^\circ$).

با تصویر آینه‌ای برای $\omega<0$، بخش $\omega>\sqrt3$ و قرینهٔ آن حلقهٔ کوچکی میان $-1$ و $0$ می‌سازند که پادساعتگرد پیموده می‌شود. در نزدیکی مبدأ $L_0\approx-3/s$، پس $c_0<0$ و کمان بی‌نهایت به‌صورت ساعتگرد از درون نیم‌صفحهٔ چپ، از پایین ($\omega=0^{-}$) به بالا ($\omega=0^{+}$)، بسته می‌شود.

شمارش.

درستی‌آزمایی. $s(s-1)+K(s+3)=s^{2}+(K-1)s+3K$ هرویتز است اگر و تنها اگر $K>1$؛ برای $0<K<1$ ضریب $s$ منفی است (دو ریشه در نیم‌صفحهٔ راست) و برای $K<0$ جملهٔ ثابت منفی است (یک ریشه در نیم‌صفحهٔ راست). این بازه از پایین کران‌دار است: یک سیستم ناپایدار به بهرهٔ کافی نیاز دارد.

د. مکانی هندسی که روی محور حقیقی قرار دارد

فرض کنید $L(s)=K\,\dfrac{s^{2}+1}{s^{2}-4}$ با $K>0$. این تابع تنها به $s^{2}$ بستگی دارد، پس با $x=\omega^{2}$

تابع $g(x)=\dfrac{x-1}{x+4}$ دارای $g'(x)=\dfrac{5}{(x+4)^{2}}>0$، $g(0)=-\tfrac14$ و $g\to1^{-}$ هنگامی که $x\to\infty$ است، پس مکان هندسی پاره‌خط حقیقی $\left[-\tfrac{K}{4},\,K\right)$ است که با تغییر $\omega:0\to\infty$ یک بار پیموده می‌شود و در $\omega=1$ از مبدأ می‌گذرد.

• از $(-1,0)$ می‌گذرد اگر و تنها اگر $-\tfrac{K}{4}\le-1$، یعنی $K\ge4$. بررسی: $1+L=0$ نتیجه می‌دهد $s^{2}=\dfrac{4-K}{1+K}$، که دقیقاً هنگامی که $K>4$ است یک جفت روی محور $j\omega$ است (و در $K=4$ داریم $s=0$).
• از $(+1,0)$ می‌گذرد اگر و تنها اگر $K\,g(x)=1$ ریشه‌ای به شکل $x=\dfrac{K+4}{K-1}\ge0$ داشته باشد، یعنی $K>1$.

هنگامی که $g$ یکنوا نیست، بُرد به‌صورت تکه‌ای به دست می‌آید: $x\ge0$ را در صفرها و قطب‌های $g$ تقسیم کنید و روی هر تکه مقادیر انتهایی، حدها در مجانب‌ها و مقادیر در نقاط ایستا ($g'=0$) را مقایسه کنید.

۵. حالت‌های رایج و موارد خاص

• حلقه‌های غیرکمینه‌فاز (صفرهای نیم‌صفحهٔ راست یا تأخیر انتقال $e^{-sT}$ با فاز $-\omega T$): پس‌فازِ اضافی بدون تضعیف اضافی؛ بنابراین تغییر فازی که بسیار بیشتر از مقداری است که شیب اندازه «اجازه می‌دهد» اثر انگشت آن است. رابطهٔ بهره–فاز بوده برقرار نیست؛ از نایکوئیست استفاده کنید.
• حلقه‌های ناپایدارِ حلقه‌باز ($P\ge1$): پایداری مستلزم $P$ دور پادساعتگرد است، پس بازهٔ بهرهٔ پایدار معمولاً کران پایین دارد و برداشت کلاسیکِ «GM و PM مثبت» صادق نیست — کاهش بهره است که سیستم را ناپایدار می‌کند. شاخص مقاوم‌بودنِ مربوط، حاشیهٔ کاهش بهره است، یعنی ضریبی که $K$ می‌تواند به آن اندازه افت کند پیش از آنکه $-1/K$ از ناحیهٔ احاطه‌شده بیرون برود.
• بهرهٔ منفی ($K<0$): نقطهٔ بحرانی $-1/K$ روی محور حقیقی مثبت است؛ به‌طور معادل، مکان هندسی $L_0$ را نسبت به $+1/\lvert K\rvert$ بیازمایید. حلقه‌ای که به ازای یک $K>0$ پایدار است، اغلب به ازای همهٔ $K<0$ها ناپایدار است، ولی این را باید شمرد، نه فرض کرد.
• سیستم‌های پایدارِ مشروط: فاز در یک باند فرکانسی که در آن $|L|>1$ است به زیر $-180^\circ$ می‌رود و سپس پیش از گذر بهره دوباره به بالای $-180^\circ$ بازمی‌گردد. مکان هندسی محور حقیقی منفی را در سمت چپ $-1$ دو بار و در جهت‌های مخالف قطع می‌کند، پس تعداد خالص دورها صفر است — به همین صورت پایدار است، با این حال کاهش بهره (و نیز افزایش بیش از حد آن) می‌تواند آن را ناپایدار کند. صرفاً به این دلیل که در یک گذر فاز $|L|>1$ است حکم به ناپایداری ندهید.
• گذرهای چندگانه: چند $\omega_{gc}$ یا $\omega_{pc}$ چند حاشیهٔ نامزد می‌دهند؛ بدترین (کوچک‌ترین) آن‌ها تعیین‌کننده است. GM/PM را در گذرِ مربوط و سازگار با شمارش نایکوئیست گزارش کنید.
• نوع سیستم و خطای حالت ماندگار: شیب فرکانس‌پایین $N$ را تعیین می‌کند؛ مجانب فرکانس‌پایین با شیب $-20$ dB/dec نوع ۱ با ثابت سرعت $K_v$ است (خطای شیب $1/K_v$)، $-40$ dB/dec نوع ۲ است، و به همین ترتیب.
• حاشیه‌ها در برابر عملکرد: PM میرایی/فراجهش را تعیین می‌کند؛ $\omega_{gc}$ پهنای باند حلقه‌بسته را تعیین می‌کند (و در نتیجه سرعت و دفع نویز اندازه‌گیری را)؛ $|L|$ در فرکانس پایین دقت دفع اغتشاش/ردیابی را از طریق حساسیت $S=1/(1+L)$ تعیین می‌کند.
• ظرافت‌های شمارش دورها: قطب‌های $L$ روی محور $j\omega$ (مثلاً انتگرال‌گیرها) نیازمند فرورفتگی‌های کوچک در کانتور نایکوئیست‌اند که به ازای هر قطب کمان‌هایی با شعاع بزرگ به اندازهٔ $180^\circ$ و به‌صورت ساعتگرد اضافه می‌کنند؛ نیم‌صفحه‌ای که از آن می‌گذرند با علامت $c_0=\lim s^{N}L(s)$ تعیین می‌شود. آن‌ها را با دقت در $N$ بشمارید.
• ورودی‌ها و خروجی‌های دیگر: قاعدهٔ حالت ماندگار برای هر تابع تبدیل پایدار برقرار است — برای خطا نسبت به یک مرجع سینوسی از $S(j\omega_0)=\dfrac{1}{1+L(j\omega_0)}$ استفاده کنید و برای مجموع چند سینوسی، اصل برهم‌نهی را جمله به جمله به کار ببرید (مقدار ثابت همان جملهٔ $\omega=0$ است که در $T(0)$ ضرب می‌شود).
• مکان‌های هندسی تبهگن (روی محور حقیقی): هنگامی که $L(j\omega)$ به ازای همهٔ $\omega$ها حقیقی است، مکان هندسی هیچ مساحتی را در بر نمی‌گیرد، پس یا به نقطهٔ بحرانی نمی‌رسد یا از روی آن می‌گذرد؛ گذشتن از روی آن یعنی قطب‌های حلقه‌بسته روی محور $j\omega$ قرار دارند.

نکتهٔ کنکوری: یک بهرهٔ حقیقی $k$ منحنی اندازهٔ بوده را به‌صورت عمودی جابه‌جا می‌کند ولی هرگز فاز را تغییر نمی‌دهد — پس ابتدا فرکانس گذر را از شرط فاز تعیین کنید ($\omega_{pc}$ برای حاشیهٔ بهره یا $k_{\max}=1/|L(j\omega_{pc})|$، و $\omega_{gc}$ برای مشخصهٔ حاشیهٔ فاز)، سپس بهره را از روی اندازه به دست آورید. پایداری نسبی را از شیب در گذر بهره بخوانید، نه از افت فرکانس‌بالا: دو حلقه که در محدودهٔ گذر از $0$ dB بر هم منطبق‌اند، حاشیهٔ فاز یکسانی دارند حتی اگر یکی از آن‌ها پس از آن سریع‌تر افت کند. در پرسش حالت ماندگار، بی‌درنگ هر گزینه‌ای را که فرکانسش با فرکانس ورودی فرق دارد کنار بگذارید و از $T(j\omega_0)$ حلقه‌بسته استفاده کنید — هرگز از $L(j\omega_0)$ نه.

تلهٔ رایج: میان‌بُرِ حاشیه‌ها یک حلقهٔ کمینه‌فاز و پایدارِ حلقه‌باز را فرض می‌کند. یک خط اندازهٔ بی‌عارضه همراه با تغییر فاز $180^\circ$ یک جفت تمام‌گذر را پنهان می‌کند؛ اگر فاز بالا برود، یک قطب نیم‌صفحهٔ راست وجود دارد، $P=1$، و پاسخ بهره‌ای بالاتر از یک آستانه است — آن را با $Z=N+P$ و نقطهٔ بحرانی $-1/K$ تأیید کنید و به یاد داشته باشید که تقاطع مکان هندسی در $-a$ مرز را در $K=1/a$ قرار می‌دهد، نه در $K=a$.