سوال ۹۱ کنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۰

صورت‌بندی. منبع $V_i$، سلف $L$، مقاومت $R=1\,\Omega$ و خازن $C$ یک حلقهٔ سری می‌سازند؛ بنابراین با $V_i(s)=\tfrac1s$:

گام ۱ — خواندن $\omega_d$ و $\sigma$ از شکل (ب). پاسخ پلهٔ این تابع تبدیل میان‌گذر برابر است با

صفرهای آن در $\omega_d t=k\pi$ قرار دارند. نخستین صفر در $t=1.82$ s است (و دومی در $3.64=2\times1.82$ که با آن سازگار است)، پس

نخستین بیشینه در شرط $\tfrac{d}{dt}\left[e^{-\sigma t}\sin\omega_d t\right]=0\Rightarrow \tan(\omega_d t_p)=\tfrac{\omega_d}{\sigma}$ صدق می‌کند. با $t_p=0.607$ s: $\omega_d t_p=1.726\times0.607\approx1.047=\tfrac{\pi}{3}$، در نتیجه

پس $\tfrac{R}{L}=2\sigma=2\Rightarrow L=0.5$ H و $\tfrac{1}{LC}=4\Rightarrow C=0.5$ F.

گام ۲ — ولتاژ دو سر شاخهٔ $RC$. $V_{RC}=V_R+V_C$، بنابراین

ولتاژ خازن همان پاسخ پلهٔ استاندارد مرتبهٔ دوم است، $V_C(t)=1-e^{-t}\left(\cos\sqrt3t+\tfrac{1}{\sqrt3}\sin\sqrt3t\right)$، و $V_R(t)=\tfrac{2}{\sqrt3}e^{-t}\sin\sqrt3t$. با جمع این دو:

گام ۳ — ویژگی‌های کلیدی $V_{RC}(t)$.

• مقدار نهایی: $V_{RC}(\infty)=1$ (بهرهٔ DC برابر $\tfrac44=1$).
• قله: $\dfrac{dV_{RC}}{dt}=e^{-t}\left(2\cos\sqrt3t+\tfrac{2}{\sqrt3}\sin\sqrt3t\right)=0\Rightarrow\tan\sqrt3t=-\sqrt3\Rightarrow\sqrt3\,t_p=\tfrac{2\pi}{3}$، پس $t_p=\tfrac{2\pi}{3\sqrt3}\approx1.21$ s، و

• در $t=0.607$ s ($\sqrt3t=\tfrac{\pi}{3}$): $V_{RC}=1-\tfrac12e^{-t}+\tfrac12e^{-t}=1$ — منحنی در مسیر صعود از مقدار نهایی خود می‌گذرد (به بیان هم‌ارز، $V_{RC}=V_i-V_L$ و $V_L=L\,\tfrac{dV_R}{dt}=0$ در جایی که $V_R$ به قله می‌رسد).
• در $t=1.82$ s ($\sqrt3t=\pi$): $V_R=0$، پس $V_{RC}=V_C=1+e^{-1.82}\approx1.163$ — منحنی در آن لحظه پیشاپیش در حال نزول است (شیب $=-2e^{-1.82}<0$).

پس مقدار قله $a\approx1.30\ne1.163$ است و قله پیش از $t=1.82$ s رخ می‌دهد.

گام ۴ — مقایسه با گزینه‌ها. آنچه هر نمودار واقعاً در زمان‌های علامت‌خورده نشان می‌دهد:

گزینه‌های ۲ و ۳ به‌دلیل مقدار قله ($a\approx1.30\ne1.163$) و گزینهٔ ۴ به‌دلیل زمان قله کنار می‌روند و گزینهٔ ۱ باقی می‌ماند — همان کلید رسمی.

تلهٔ رایج: هیچ‌یک از نمودارها منحنیِ به‌دست‌آمده را دقیقاً بازتولید نمی‌کند. گزینهٔ ۱ با روش حذف پاسخ است، اما جای‌گذاری علامت‌های محور زمان در آن دقیق نیست: قله را در $0.607$ s و عبور نزولی از مقدار نهایی را در $1.82$ s رسم کرده است، در حالی که محاسبه می‌دهد $V_{RC}(0.607)=1$ (در حال صعود)، قله در $t_p\approx1.21$ s، $V_{RC}(1.82)\approx1.163$ و عبور نزولی در $t=\tfrac{4\pi}{3\sqrt3}\approx2.42$ s. علامت $3.64$ s آن (درست پس از نخستین کمینه، اندکی پایین‌تر از مقدار نهایی) با $V_{RC}(3.64)=1-e^{-3.64}\approx0.97$ سازگار است.

نکتهٔ کنکوری: $1.163=1+e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^{2}}}$ به‌ازای $\zeta=0.5$ فراجهشِ خروجی مرتبهٔ دومِ خالص یعنی $V_C$ است که در $t=\pi/\omega_d=1.82$ s رخ می‌دهد. $V_{RC}$ یک صفر اضافی در $s=-2$ دارد (جملهٔ افزوده‌شدهٔ $V_R\propto \tfrac{dV_C}{dt}$) که قله را بزرگ‌تر و زودتر می‌کند. همین نکته به‌تنهایی گزینه‌های ۲ و ۳ (مقدار $1.163$) و ۴ (قله در $1.82$ s) را حذف می‌کند.