مفهومسیگنال‌ها و سیستم‌ها سیستم‌های LTI و کانولوشن

سیستم‌های LTI، پاسخ ضربه و پاسخ پله، و کانولوشن

یک سیستم خطی تغییرناپذیر با زمان به‌طور کامل با پاسخ ضربه‌اش

h

توصیف می‌شود (یا به‌طور معادل با پاسخ پله‌اش، که مشتق یا تفاضل مرتبهٔ اول آن همان

h

است)، خروجی آن کانولوشن ورودی با

h

است، و نمایی همیشگی

e^{st}

تابع ویژهٔ آن است.

کارت مفهوم کنکور ارشد مهندسی برق

اهمیت

۰/۵

۱. ایدهٔ اصلی: یک تابع کل سیستم را توصیف می‌کند

یک سیستم پیوسته‌زمان $y = \mathcal{T}\{x\}$ خطی است اگر از اصل برهم‌نهی پیروی کند — $\mathcal{T}\{a\,x_1 + b\,x_2\} = a\,\mathcal{T}\{x_1\} + b\,\mathcal{T}\{x_2\}$ — و تغییرناپذیر با زمان است اگر تأخیر در ورودی صرفاً خروجی را به همان اندازه به تأخیر بیندازد: $x(t-t_0) \to y(t-t_0)$ . سیستمی که هر دو ویژگی را دارد LTI نامیده می‌شود.

دلیل اهمیت محوری سیستم‌های LTI خاصیت غربالی است: هر ورودی را می‌توان به‌صورت برهم‌نهی ضربه‌های انتقال‌یافته نوشت،

x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)\,\delta(t-\tau)\,d\tau.

عملگر را اعمال کنید. خطی‌بودن، $\mathcal{T}$ را به درون انتگرال می‌برد (وزن‌های $x(\tau)$ نسبت به $t$ ثابت‌اند)؛ تغییرناپذیری با زمان می‌گوید پاسخ به $\delta(t-\tau)$ همان پاسخ به $\delta(t)$ است که به اندازهٔ $\tau$ انتقال یافته است. پاسخ ضربه را چنین تعریف کنید

h(t) \;=\; \mathcal{T}\{\delta(t)\}.

آنگاه پاسخ به $\delta(t-\tau)$ برابر $h(t-\tau)$ است، و

y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)\,h(t-\tau)\,d\tau = (x * h)(t).

پس $h(t)$ به‌تنهایی پاسخ سیستم به هر ورودی را تعیین می‌کند. دانستن $h$ یعنی شناختن سیستم. همین مطلب دربارهٔ هر یک زوج ورودی–خروجی معلوم که بتوان $h$ را از آن بازیابی کرد نیز درست است — رایج‌ترین نمونه پاسخ پله است (بخش ۲.۳).

۲. روابط کلیدی

۲.۱ کانولوشن (قانون ورودی–خروجی)

y(t) = (x * h)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)\,h(t-\tau)\,d\tau,\qquad y[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k]\,h[n-k].

کانولوشن جابه‌جایی‌پذیر ( $x*h = h*x$ )، شرکت‌پذیر ( $(x*h_1)*h_2 = x*(h_1*h_2)$ — اتصال سری) و توزیع‌پذیر ( $x*(h_1+h_2)$ — اتصال موازی) است. ضربه عضو همانی آن است: $x * \delta = x$ ، و $x(t) * \delta(t-t_0) = x(t-t_0)$ (کانولوشن با ضربهٔ انتقال‌یافته فقط سیگنال را انتقال می‌دهد).

۲.۲ توابع ویژه و تابع سیستم

برای یک سیستم LTI، نمایی مختلط همیشگی $e^{st}$ (که برای همهٔ $t$ ها تعریف شده و با $u(t)$ روشن نمی‌شود) یک تابع ویژه است:

y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} h(\tau)\,e^{s(t-\tau)}\,d\tau = e^{st}\underbrace{\int_{-\infty}^{\infty} h(\tau)\,e^{-s\tau}\,d\tau}_{H(s)} = H(s)\,e^{st}.

$H(s)$ تابع سیستم (تابع تبدیل) است، یعنی تبدیل لاپلاس $h$ . برای سیستمی که با یک معادلهٔ دیفرانسیل با ضرایب ثابت $\sum_k a_k\,y^{(k)} = \sum_k b_k\,x^{(k)}$ داده شده است، جایگزینی $\tfrac{d}{dt}\to s$ مستقیماً $H(s) = \dfrac{\sum_k b_k s^{k}}{\sum_k a_k s^{k}}$ را می‌دهد. با قرار دادن $s = j\omega$ پاسخ فرکانسی $H(j\omega)$ به دست می‌آید، و $e^{j\omega t} \to H(j\omega)\,e^{j\omega t}$ .

حالت خاص $s=0$ همان بهرهٔ DC است: ورودی ثابت $x(t)=c$ که در تمام زمان‌ها اعمال شده باشد همان نمایی همیشگی $c\,e^{0t}$ است، پس خروجی مقدار ثابت زیر است

y(t) = c\,H(0), \qquad H(0) = \int_{-\infty}^{\infty} h(t)\,dt \quad\Big(\text{discrete time: } H(z)\big\vert_{z=1} = \sum_{n} h[n]\Big),

که هرگاه آن انتگرال (مجموع) همگرا باشد معتبر است، به‌ویژه برای هر سیستم پایدار BIBO.

۲.۳ پاسخ پله و چگونگی بازیابی $h$ از آن

پاسخ پله $s$ خروجی سیستم به ازای ورودی پلهٔ واحد است. کانولوشن $h$ با پله یک انتگرال انباشته (مجموع انباشته) است:

s(t) = (u*h)(t) = \int_{-\infty}^{t} h(\tau)\,d\tau, \qquad s[n] = (u*h)[n] = \sum_{k=-\infty}^{n} h[k].

با وارون‌کردن این روابط، پاسخ ضربه از پاسخ پلهٔ اندازه‌گیری‌شده یا داده‌شده به دست می‌آید:

h(t) = \frac{ds(t)}{dt}, \qquad h[n] = s[n] - s[n-1].

رابطهٔ گسسته چیزی نیست جز اعمال خطی‌بودن و تغییرناپذیری با زمان بر $\delta[n] = u[n] - u[n-1]$ . هر دو رابطه نمونه‌هایی از یک قاعدهٔ کلی‌اند: سیستم LTI با مشتق‌گیری، تفاضل‌گیری، انتگرال‌گیری و انتقال جابه‌جا می‌شود. اگر $x \to y$ ، آنگاه

x'(t) \to y'(t), \qquad x[n]-x[n-1] \to y[n]-y[n-1], \qquad \int_{-\infty}^{t} x \to \int_{-\infty}^{t} y .

بنابراین پاسخ معلوم به هر ورودی را می‌توان بدون آنکه اصلاً $h$ را پیدا کنیم، به پاسخ به مشتق آن، تفاضل آن، یا هر ترکیبی از نسخه‌های انتقال‌یافته‌اش تبدیل کرد.

مقدار نهایی پاسخ پله همان بهرهٔ DC است: $s(\infty) = \int h = H(0)$ (در حالت گسسته: $\sum_n h[n]$ ).

۲.۴ علّی‌بودن و پایداری

هر دو مستقیماً از روی $h$ خوانده می‌شوند:

علّی $\iff h(t)=0$ برای $t<0$ (خروجی نمی‌تواند پیش از ورودی ظاهر شود).
پایدار BIBO $\iff \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\lvert h(t)\rvert\,dt < \infty$ (مطلقاً انتگرال‌پذیر).

۲.۵ انرژی خروجی

انرژی یک سیگنال عبارت است از

E_y = \int_{-\infty}^{\infty} \lvert y(t)\rvert^{2}\,dt, \qquad E_y = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \lvert y[n]\rvert^{2}.

انرژی خطی نیست: انرژی $y = x*h$ برابر حاصل‌ضرب یا مجموع انرژی‌های $x$ و $h$ نیست. ابتدا $y$ را بیابید، سپس مجذور کنید و جمع بزنید. دو نتیجه که ارزش به‌خاطرسپردن دارند، برای $a>0$ و $\lvert r\rvert<1$ :

\int_{0}^{\infty} \big(e^{-at}\big)^{2}\,dt = \frac{1}{2a}, \qquad \sum_{n=0}^{\infty} \big\lvert r^{n}\big\rvert^{2} = \frac{1}{1-\lvert r\rvert^{2}} .

۳. روش — محاسبهٔ یک کانولوشن

برای محاسبهٔ دستی $y(t) = (x*h)(t)$ :

متغیر ظاهری $\tau$ را انتخاب کنید و $x(\tau)$ و $h(t-\tau)$ را بنویسید. معمولاً وارون‌کردن و انتقال‌دادن سیگنال ساده‌تر / کوتاه‌تر آسان‌تر است (جابه‌جایی‌پذیری این انتخاب را به شما می‌دهد).
یکی از سیگنال‌ها را قرینه کنید: $h(\tau) \to h(-\tau)$ . آن را به اندازهٔ $t$ انتقال دهید: $h(-\tau) \to h(t-\tau)$ .
$t$ را از $-\infty$ تا $+\infty$ بلغزانید؛ در هر $t$ از حاصل‌ضرب $x(\tau)h(t-\tau)$ فقط روی ناحیهٔ هم‌پوشانی انتگرال بگیرید.
نقاط شکست را دنبال کنید — مقادیری از $t$ که در آن‌ها لبه‌های جلویی/عقبی دو تکیه‌گاه به هم می‌رسند. این نقاط پاسخ را به بازه‌هایی تقسیم می‌کنند؛ انتگرال هر بازه را جداگانه حل کنید.
آزمون‌های درستی: تکیه‌گاه $x*h$ از (شروع $x$ + شروع $h$ ) تا (پایان $x$ + پایان $h$ ) امتداد دارد؛ مدت آن مجموع دو مدت است. مساحت‌ها در هم ضرب می‌شوند: $\int (x*h)\,dt = \big(\int x\big)\big(\int h\big)$ .

میان‌بر — ورودی‌ها/هسته‌های ضربه‌ای. کانولوشن با $\sum_i c_i\,\delta(t-t_i)$ صرفاً $\sum_i c_i\,x(t-t_i)$ است — هر ضربه را با یک نسخهٔ مقیاس‌شده و انتقال‌یافته از سیگنال دیگر جایگزین کنید. ورودی گسسته‌ای که به‌صورت نمودار میله‌ای رسم شده همیشه به همین شکل است: آن را به‌صورت $x[n]=\sum_k x[k]\,\delta[n-k]$ بخوانید و بنویسید $y[n]=\sum_k x[k]\,h[n-k]$ . سپس نمونه به نمونه محاسبه کنید؛ نسخه‌های انتقال‌یافته اغلب از اندیسی به بعد یکدیگر را حذف می‌کنند و خروجی‌ای با طول متناهی باقی می‌ماند.

میان‌بر — ورودی‌های پله‌مانند (نیمه‌نامتناهی). وقتی یک سیگنال پلهٔ واحد است، پله‌های واحد فقط حدود انتگرال‌گیری را تعیین می‌کنند:

ورودی $x(t)$	خروجی $y(t)$	برحسب پاسخ پله
$u(t)$	$\int_{-\infty}^{t} h(\tau)\,d\tau$	$s(t)$
$u(t-t_0)$	$\int_{-\infty}^{t-t_0} h(\tau)\,d\tau$	$s(t-t_0)$
$u(-t)$	$\int_{t}^{\infty} h(\tau)\,d\tau$	$H(0)-s(t)$
$u(t-a)-u(t-b)$	$\int_{t-b}^{t-a} h(\tau)\,d\tau$	$s(t-a)-s(t-b)$

سطر $u(-t)$ از $u(-t) = 1 - u(t)$ نتیجه می‌شود: ثابت $1$ مقدار $H(0)$ را تولید می‌کند و پله $s(t)$ را (این کار نیازمند همگرایی $\int h$ است). برای یک سیستم علّی داریم $s(t)=0$ برای $t<0$ ، پس خروجی به ازای هر $t<0$ برابر ثابت $H(0)$ است و تنها از $t=0$ شروع به تغییر می‌کند: ورودی از ازل یک سطح DC بوده، سیستم در حالت ماندگار DC خود قرار دارد، و پس از برداشته‌شدن ورودی، خروجی آزادانه میرا می‌شود.

دو زوج کانولوشن با پله که پیوسته ظاهر می‌شوند (برای $a>0$ ، $r\neq 1$ ):

e^{-at}u(t) * u(t) = \frac{1-e^{-at}}{a}\,u(t), \qquad r^{n}u[n] * u[n] = \frac{1-r^{n+1}}{1-r}\,u[n].

۴. مثال‌های کوچک حل‌شده

۴.۱ دو پالس متناهی

دو پالس مستطیلی با ارتفاع واحد را کانوالو کنید. فرض کنید $x(t)=h(t)=1$ روی $[0,1]$ و $0$ در جاهای دیگر. آنگاه $y=x*h$ دارای تکیه‌گاه $[0,2]$ است و

y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)\,h(t-\tau)\,d\tau = \text{(length of the overlap of } [0,1] \text{ with } [t-1,t]).

برای $0 \le t \le 1$ : پالس‌ها روی $[0,t]$ هم‌پوشانی دارند، پس $y(t)=t$ .
برای $1 \le t \le 2$ : روی $[t-1,1]$ هم‌پوشانی دارند، پس $y(t) = 1-(t-1) = 2-t$ .
در غیر این صورت $y(t)=0$ .

نتیجه پالس مثلثی $y(t)=\max(0,\,1-\lvert t-1\rvert)$ است — با پهنای $2$ (مجموع دو پهنا)، قلهٔ $1$ در $t=1$ ، و مساحت کل $1 = (1)(1)$ که با آزمون حاصل‌ضرب مساحت‌ها سازگار است.

۴.۲ پلهٔ چپ‌سو به یک سیستم علّی

فرض کنید $h(t) = 3e^{-2t}u(t)$ و $x(t) = u(-t)$ . ورودی را وارون کنید: $x(t-\tau) = u(\tau - t)$ ، پس

y(t) = \int_{0}^{\infty} 3e^{-2\tau}\,u(\tau-t)\,d\tau = \int_{\max(0,\,t)}^{\infty} 3e^{-2\tau}\,d\tau = \tfrac{3}{2}\,e^{-2\max(0,\,t)} .

y(t) = \begin{cases} \tfrac{3}{2}, & t \le 0 \\ \tfrac{3}{2}\,e^{-2t}, & t > 0 \end{cases}

با جدول بررسی کنید: $H(0) = \int_0^\infty 3e^{-2t}dt = \tfrac32$ و $s(t) = \tfrac32\big(1-e^{-2t}\big)u(t)$ ، پس $H(0)-s(t)$ دقیقاً همان دو شاخهٔ بالا را می‌دهد. برای زمان‌های منفی خروجی تخت است، پس برای نمونه $y(-1)-y(-4)=0$ ، در حالی که $y(1)-y(-1) = \tfrac32\big(e^{-2}-1\big)$ .

۴.۳ از پاسخ پله تا پاسخ به یک ورودی نمودار میله‌ای

یک سیستم LTI گسسته دارای پاسخ پلهٔ $s[n] = \big(3 - 2(\tfrac13)^{n}\big)u[n]$ است. پاسخ آن به $x[n] = 3\delta[n] - \delta[n-1]$ و انرژی این پاسخ را بیابید.

پاسخ ضربه. $h[n] = s[n]-s[n-1]$ ، که نمونهٔ اول را باید جداگانه بررسی کرد زیرا $s[-1]=0$ :

$n=0$ : $h[0] = s[0] - 0 = 3-2 = 1$ .
$n\ge 1$ : $h[n] = 2(\tfrac13)^{n-1} - 2(\tfrac13)^{n} = 4(\tfrac13)^{n}$ .

فرم بستهٔ $4(\tfrac13)^n$ در $n=0$ مقدار $4$ می‌دهد که نادرست است — پس $h[n] = 4(\tfrac13)^{n}u[n] - 3\delta[n]$ . بررسی: $\sum_n h[n] = 1 + 4\cdot\tfrac{1/3}{1-1/3} = 3 = s(\infty)$ .

خروجی. $y[n] = 3h[n] - h[n-1]$ :

$y[0] = 3\cdot 1 = 3$ .
$y[1] = 3\cdot\tfrac43 - h[0] = 4 - 1 = 3$ .
$n\ge 2$ : $3\cdot 4(\tfrac13)^{n} - 4(\tfrac13)^{n-1} = 0$ .

پس $y[n] = 3\delta[n] + 3\delta[n-1]$ و $E_y = 3^{2}+3^{2} = 18$ .

بررسی با تبدیل. $H(z) = \dfrac{1+z^{-1}}{1-\tfrac13 z^{-1}}$ و $X(z) = 3 - z^{-1} = 3\big(1-\tfrac13 z^{-1}\big)$ ، پس $Y(z) = 3\big(1+z^{-1}\big)$ : صفر ورودی در $z=\tfrac13$ قطب سیستم را حذف می‌کند و به همین دلیل دنبالهٔ هندسی نامتناهی ناپدید می‌شود.

۵. گونه‌ها و حالت‌های خاص

تلهٔ نمایی همیشگی. اگر ورودی $e^{st}$ بدون $u(t)$ باشد، سراغ معادلهٔ دیفرانسیل نروید: خروجی صرفاً $H(s)\,e^{st}$ است — نه پلهٔ روشن‌شدنی در کار است و نه مدهای طبیعی (ورودی‌صفر). ضریب $u(t)$ نشانه‌ای است که باید حالت گذرا و مدهای طبیعی را نیز در نظر گرفت.
ورودی‌ای که به‌جای وصل‌شدن قطع می‌شود. سطح ثابت $c$ که از $t=-\infty$ اعمال شده و در $t=t_0$ برداشته می‌شود، یعنی $x(t)=c\,u(t_0-t)$ ، خروجی $y(t) = c\,\big[H(0) - s(t-t_0)\big]$ را می‌دهد. برای یک سیستم علّی و پایدار، این خروجی پیش از $t_0$ برابر $c\,H(0)$ و پس از آن یک میرایی آزاد است. اگر سیستم علّی نباشد، خروجی پیش از $t_0$ شروع به تغییر می‌کند، و اگر $\int h$ واگرا باشد (مثلاً انتگرال‌گیر، $h=u$ ) خروجی وجود ندارد.
حذف قطب و صفر. در $H(s)$ ممکن است یک صفر یک قطب را حذف کند (مثلاً $\tfrac{s+2}{s(s+2)}=\tfrac{1}{s}$ ) و مرتبهٔ مؤثر را کاهش دهد — همیشه پیش از محاسبهٔ $H(s)$ آن را ساده کنید. همین اتفاق میان یک ورودی و سیستم نیز رخ می‌دهد: اگر $X(z)$ (یا $X(s)$ ) در محل یکی از قطب‌های $H$ صفر داشته باشد، مد متناظر در خروجی حضور ندارد و یک پاسخ با طول نامتناهی می‌تواند به چند نمونه فروبکاهد.
سایر زوج‌های ورودی–خروجی معلوم. اگر پاسخ $y_1$ به ورودی‌ای مانند $x_1$ داده شده باشد و ورودی جدید ترکیبی از انتقال‌ها، مشتق‌ها یا تفاضل‌های $x_1$ باشد، همان ترکیب را بر $y_1$ اعمال کنید. گذر از $h$ تنها زمانی لازم است که ورودی جدید ارتباطی با $x_1$ نداشته باشد. در زمان پیوسته، مشتق‌گیری از پاسخ پله‌ای که در $t=0$ پرش دارد یک ضربه تولید می‌کند: $\tfrac{d}{dt}\big[g(t)u(t)\big] = g'(t)u(t) + g(0)\,\delta(t)$ .
همبستگی در برابر کانولوشن. همبستگی متقابل همان کانولوشن است با یکی از سیگنال‌ها به‌صورت قرینه‌شده: $R_{xy}(\tau)=\int x(t)\,y(t-\tau)\,dt = \big(x(\tau)*y(-\tau)\big)$ . برای یک سیگنال انرژی حقیقی، خودهمبستگی $R_v(\tau)=v(\tau)*v(-\tau)$ زوج است و در $\tau=0$ بیشینه می‌شود، جایی که برابر انرژی است: $R_v(0)=E_v$ . برای مجموعی از ضربه‌ها $v=\sum_k \delta(t-t_k)$ ، به ازای هر تفاضل تأخیر دوبه‌دو $t_i-t_j$ یک ضربهٔ خروجی قرار می‌گیرد، و جملهٔ $\tau=0$ وزنی برابر تعداد ضربه‌ها انباشته می‌کند.
ضرب‌کننده ≠ LTI. ضرب $x(t)$ در یک سیگنال ثابت و معین $g(t)$ (حامل، پنجره یا قطار ضربه) سیستم را خطی نگه می‌دارد، اما تنها زمانی تغییرناپذیر با زمان است که $g$ ثابت باشد — ضرب‌کنندهٔ وابسته به زمان، سیستم خطی را متغیر با زمان می‌کند، و چنین سیستمی توصیف یکتایی با پاسخ ضربه / کانولوشن ندارد.
زمان گسسته همه‌چیز را با مجموع‌ها بازتاب می‌دهد؛ $z^n \to H(z)\,z^n$ و شرط پایداری $\sum_n \lvert h[n]\rvert < \infty$ می‌شود.

تلهٔ رایج: هنگام تفاضل‌گیری از پاسخ پله، نمونهٔ اول را دستی حساب کنید. فرم بسته‌ای که برای $n\ge 1$ به دست می‌آید لزوماً در $n=0$ برقرار نیست، زیرا $s[-1]=0$ از فرمول درون $u[n]$ به دست نمی‌آید. به همین ترتیب، عبارتی برای $y(t)$ که به ازای $t>0$ به دست آمده (مانند یک نمایی میرا) نباید در زمان‌های منفی محاسبه شود — هر بازه از یک کانولوشن فرمول خودش را دارد.

نکتهٔ کنکوری: ابزار را متناسب با ورودی انتخاب کنید. برای نمایی همیشگی $e^{st}$ کانولوشن نگیرید — تابع تبدیل را یک‌بار محاسبه کنید: $y=H(s)e^{st}$ ؛ ورودی ثابت همان حالت $s=0$ است. برای پله یا پله‌ای که قطع می‌شود، از $h$ بین حدودی که پله‌ها تحمیل می‌کنند انتگرال بگیرید، یا از $s(t)$ و $H(0)-s(t)$ استفاده کنید. برای پالس‌های با تکیه‌گاه متناهی، وارون کنید و بلغزانید و نقاط شکست را دنبال کنید. برای مجموعی از ضربه‌ها (هسته، سیگنال یا هر نمودار میله‌ای)، کانولوشن/همبستگی به نسخه‌های انتقال‌یافته و مقیاس‌شده فرومی‌کاهد — نیازی به انتگرال نیست، و پیش از جمع‌زدن هر سری نامتناهی بررسی کنید که آیا نسخه‌ها یکدیگر را حذف می‌کنند یا نه. بودن یا نبودن $u(t)$ به شما می‌گوید که اصلاً مدهای طبیعی ظاهر می‌شوند یا خیر.

فرمول‌های کلیدی

Convolution (continuous time)

y(t) = (x * h)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)\,h(t-\tau)\,d\tau

Convolution (discrete time)

y[n] = (x * h)[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k]\,h[n-k]

Sifting property of the impulse

\int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)\,\delta(t-\tau)\,d\tau = x(t)

Eigenfunction property

e^{st} \;\longrightarrow\; H(s)\,e^{st}, \qquad H(s) = \int_{-\infty}^{\infty} h(t)\,e^{-st}\,dt

DC gain (response to a constant input)

x(t)=c \;\longrightarrow\; y(t)=c\,H(0), \qquad H(0)=\int_{-\infty}^{\infty} h(t)\,dt

Step response (continuous time)

s(t) = \int_{-\infty}^{t} h(\tau)\,d\tau, \qquad h(t) = \frac{ds(t)}{dt}

Step response (discrete time)

s[n] = \sum_{k=-\infty}^{n} h[k], \qquad h[n] = s[n]-s[n-1]

Response to a left-sided step

u(-t) \;\longrightarrow\; \int_{t}^{\infty} h(\tau)\,d\tau = H(0) - s(t)

Exponential convolved with a step

e^{-at}u(t) * u(t) = \frac{1-e^{-at}}{a}\,u(t), \qquad r^{n}u[n] * u[n] = \frac{1-r^{n+1}}{1-r}\,u[n]

BIBO stability

\int_{-\infty}^{\infty} |h(t)|\,dt < \infty

Signal energy

E_y = \int_{-\infty}^{\infty} |y(t)|^{2}\,dt, \qquad E_y = \sum_{n=-\infty}^{\infty} |y[n]|^{2}

Deterministic autocorrelation (energy signal)

R_v(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} v(t)\,v(t-\tau)\,dt = \big(v(\tau) * v(-\tau)\big)

#lti-systems#impulse-response#step-response#convolution#eigenfunction#system-function#correlation#causality-stability

سوالات تمرینی · 8/16

سیگنال‌ها و سیستم‌هاآسانویژگی‌های سیستم‌هاکنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۵ — سؤال ۹۷

سیستم زیر یک نمونه‌برداری ایده‌آل با قطاری از ضربه است که ‏ T ، دوره تناوب نمونه‌برداری است. کدام گزینه درخصوص این سیستم درست است؟ خروجی: y(t) = s(t)· x(t) و s(t) = ∑_(k=-∞)^(∞) δ(t - kT)

سیگنال‌ها و سیستم‌هامتوسطسیستم‌های LTI و کانولوشنکنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۵ — سؤال ۱۰۲

پاسخ یک سیستم پیوسته زمان که دارای معادله دیفرانسیل frac d^۲y(t) dt^۲ +۲(dy(t))/dt=(dx(t))/dt+۲x(t) است، بهازای سیگنال ورودی x(t)=e^۲t کدام گزینه است؟

سیگنال‌ها و سیستم‌هامتوسطسیستم‌های LTI و کانولوشنکنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۵ — سؤال ۱۰۶

برای سیگنال v(t) با فرم زیر، تابع خودهم‌بستگی R_v(τ) چه عبارتی است؟ v(t) = δ(t) + δ(t-۳)

سیگنال‌ها و سیستم‌هاآسانسیستم‌های LTI و کانولوشنکنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۴ — سؤال ۹۷

پاسخ یک سیستم پیوسته‌زمان LTI با پاسخ ضربه h_1[n] به ورودی x_1[n] را y_1[n] و پاسخ یک سیستم پیوسته‌زمان LTI با پاسخ ضربه h_2[n] به ورودی x_2[n] را y_2[n] می‌نامیم. اگر بدانیم x_2[n] = x_1[n-۲] و…

سیگنال‌ها و سیستم‌هاآسانسیستم‌های LTI و کانولوشنکنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۴ — سؤال ۱۰۱

سیستم A، عملکرد کمربند ایمنی خودرو در هنگام بستن آن توسط راننده و سیستم B، عملکرد کیسه هوای خودرو در هنگام تصادف است. با نگاه فیلتر (پالایه) انتخاب فرکانسی، A و B به‌ترتیب چگونه هستند؟

سیگنال‌ها و سیستم‌هامتوسطسیستم‌های LTI و کانولوشنکنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۴ — سؤال ۱۰۴

تابع تبدیل یک سیستم خطی تغییرناپذیر با زمان به‌صورت H(s) = K(s+a)/(s+b) است. اگر این سیستم به‌ازای ورودی x(t) = cos(t) خروجی y(t) = sin(t) را بدهد، به‌ترتیب، متغیرهای a و b کدام هستند؟ (می‌دانیم که j…

سیگنال‌ها و سیستم‌هامتوسطسیستم‌های LTI و کانولوشنکنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۳ — سؤال ۱۰۰

حاصل انتگرال ∫_(-0.5)^0.5δ(sin(π t)) dt (با حدود انتگرال‌گیری از ۰/۵- تا ۰/۵)، کدام است؟ ( δ(.) نشانگر تابع ضربه است.)

سیگنال‌ها و سیستم‌هاآسانسیستم‌های LTI و کانولوشنکنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۳ — سؤال ۱۰۱

فرض کنید y_1(t) = x(t) h(t) و y_2(t) = x(۴t) h(۴t) ، در این‌صورت:

همهٔ 16 سؤال →